คำถามเกี่ยวกับพื้นที่เมตริกที่กำหนดไว้ $\mathbb{Q}$.
พิจารณา $\mathbb{Q}$เป็นเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด กำหนด$d(p,q)=|p-q| $. แล้วข้อความใดต่อไปนี้เป็นจริง?
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$ ถูกปิด.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ ถูกปิด.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ มีขนาดกะทัดรัด
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$ มีขนาดกะทัดรัด
ดังนั้นฉันจึงคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้โดยที่ตัวเลือกที่ 4 ไม่เป็นความจริงเพราะสิ่งนี้ไม่มีขอบเขต ดังนั้นไม่กะทัดรัดตามมาจากความไร้ขอบเขต ดังนั้นถ้าเราสามารถแสดงให้เห็นว่านี่คือเซตใน 4 และฉันคิดว่าไม่มี 1. ถูกปิดเนื่องจากมันเป็นส่วนเสริม$\mathbb{Q}$ ร่วมกันเปิดบางชุดใน $\mathbb{R}$.
สำหรับข้อความอื่น ๆ เราอาจใช้เกณฑ์ทั่วไปที่ว่า "พื้นที่เมตริกมีขนาดกะทัดรัดถ้ามันสมบูรณ์และมีขอบเขตทั้งหมด" แต่ฉันต้องการความช่วยเหลือในการทำเช่นนี้
คำตอบ
เราสามารถเขียน 1. เป็น $\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$ ซึ่งเป็นชุดเปิดจริง (ช่วงเวลาเปิดจะเปิดอยู่) ตัดกับ $\Bbb Q$ดังนั้นชุดนั้นจึงเปิดเข้ามา $\Bbb Q$. นอกจากนี้ยังปิดใน$\Bbb Q$ เพราะเราสามารถเขียนเป็น $\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$ซึ่งปิดด้วยเหตุผลที่คล้ายกัน
2 ถูกปิดเนื่องจากเราสามารถเขียนเป็น $\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$ และเป็นองค์ประกอบของมัน $2$ไม่ใช่จุดภายในของมันไม่เปิด
ชุดที่ต่ำกว่า 3 นั้นเหมือนกับค่าต่ำกว่า 2 ดังนั้นจึงถูกปิดอย่างที่เราเห็นดังนั้นมันจึงอาจกะทัดรัดเนื่องจากมีขอบเขต แต่ในความเป็นจริงมันไม่ใช่อย่างที่เราสามารถเลือกสิ่งที่ไร้เหตุผลได้$p$ "ภายใน" ชุด (พูด $\sqrt{3}$ จะทำ) และค้นหาลำดับของเหตุผล $q_n$ ในชุดที่มาบรรจบกัน $p$ ในค่าเรียล (สามารถทำได้เสมอ) แต่แล้วลำดับ$(q_n)_n$ คือ Cauchy (มันมาบรรจบกันในหน่วยเรียล) แต่ไม่บรรจบกันในรูปแบบ $\Bbb Q$(เป็นจุดเดียวที่มันจะมาบรรจบกันไม่ได้อยู่ในฉาก) ดังนั้นชุดจึงไม่กระชับ เหตุผลที่ลึกกว่าว่าทำไมมันถึงไม่กะทัดรัด (ซึ่งคุณอาจยังไม่ได้กล่าวถึง) คือชุดที่สามารถนับได้ขนาดกะทัดรัดในพื้นที่เมตริกต้องมีจุดแยกและชุดนี้ไม่มีเลย แต่ความไม่สมบูรณ์ (หรือความจริงที่เกี่ยวข้องกับการที่เรามีลำดับโดยไม่มีลำดับต่อมาบรรจบกัน) สามารถใช้เพื่อหักล้างความกะทัดรัดในระดับประถมศึกษา
สำหรับ 4 ในพื้นที่เมตริกทั้งหมดเรารู้ว่า "$A$ กะทัดรัด $\implies$ $A$ปิดและมีขอบเขต Heine-Borel เป็นความหมายผกผันซึ่งมีอยู่ในชุดย่อยของ$\Bbb R^n$ในเมตริกแบบยุคลิด "แรง" ของมันคือการพิสูจน์ความกะทัดรัดอย่างรวดเร็ว แต่ความหมายที่ถูกต้องเสมอสามารถใช้เพื่อหักล้างความกะทัดรัดได้อย่างง่ายดายและ 4 คือตัวอย่าง: ไม่มีขอบเขตดังนั้นการไม่กระชับจึงเป็นการหักที่ถูกต้องในพื้นที่เมตริกใด ๆ
ชุด $A$ ในพื้นที่เมตริกมีขนาดกะทัดรัด iff ทุกลำดับใน $A$ มีการบรรจบกันซึ่งมีขีด จำกัด เป็นของ $A$. ลำดับ$\{1,2,3,..\}$ เป็นลำดับในเซตที่กำหนดซึ่งไม่มีลำดับต่อมาบรรจบกันดังนั้นเซตใน 4) จึงไม่กะทัดรัด
คุณสามารถใช้ความจริงที่ว่า $\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$ เป็นฝาเปิดของชุดที่ไม่มีฝาปิดย่อย จำกัด