คำถามใน Milnor & Stacheff - คลาสลักษณะการสร้างคลาส Chern

Question

ย่อหน้าต่อไปนี้ดึงมาจากหนังสือ:

ตอนนี้เราจะให้คำจำกัดความอุปนัยของคลาสลักษณะเฉพาะสำหรับคอมเพล็กซ์ $n$- บันเดิลเครื่องบิน $\omega=(\pi: E\to M)$. หากจำเป็นต้องสร้างบัญญัติก่อน$(n-1)$- บันเดิลเครื่องบิน $\omega_0$ เกินพื้นที่ทั้งหมดที่ถูกลบ $E_0$. ($E_0$ หมายถึงชุดของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดใน $E$.) ชี้เข้า $E_0$ ถูกระบุโดยเส้นใย $F$ ของ $\omega$ ร่วมกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ $v$ในเส้นใยนั้น ก่อนอื่นสมมติว่ามีการระบุเมตริก Hermitian$\omega$. จากนั้นเส้นใยของ$\omega_0$ เป็นไปตามความหมายส่วนเสริมมุมฉากของ $v$ ในปริภูมิเวกเตอร์ $F$. นี่คือพื้นที่เวกเตอร์ที่ซับซ้อนของมิติ$n-1$และช่องว่างเวกเตอร์เหล่านี้ถือได้ว่าเป็นเส้นใยของมัดเวกเตอร์ใหม่อย่างชัดเจน $\omega_0$ เกิน $E_0$.

คำถาม: ฉันเข้าใจว่าพื้นที่ทั้งหมดของ $\omega_0$ถูกกำหนด แต่โทโพโลยีของพื้นที่ทั้งหมดกำหนดไว้อย่างไร? ไม่มีการพูดถึงเรื่องนี้

Answer 1

พิจารณาการแมปต่อไปนี้:

$\require{AMScd}$ \ เริ่ม {CD} \ pi ^ * E @ >>> E \\ @V \ bar \ pi VV @VV \ pi V \\ E @ >> \ pi> M \ end {CD}

ซึ่งทำให้เกิดบันเดิลแบบดึงกลับ $\bar \pi : \pi^*E \to E$ที่สำหรับแต่ละ $v\in E$, $$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$ (นั่นคือเส้นใยเป็นเพียงเส้นใย $F_x$, ที่ไหน $x = \pi(v)$). $\pi^*E$ได้รับโทโพโลยีของบันเดิลแบบดึงกลับ ตั้งแต่$E_0$ เป็นส่วนย่อยของ $E$ข้อ จำกัด ทำให้เป็นกลุ่ม

$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$

และมัด $\omega_0$สร้างขึ้นในหนังสือเล่มนี้เป็นกลุ่มย่อยของ (1) Plus มีโทโพโลยีย่อยที่กำหนดโดย (1)