เข้าใกล้ฟิสิกส์โดยใช้การวิเคราะห์ธรรมดามากกว่าการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน
เท่าที่ฉันรู้ในทางฟิสิกส์แคลคูลัสถูกเข้าหาโดยใช้การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานซึ่ง $dx$, $dy$ฯลฯ (infinitesimals) ถือเป็นปริมาณที่คงที่ซึ่งมีปริมาณน้อยมากแทนที่จะเป็นวิธีการวิเคราะห์มาตรฐานโดยใช้ขีด จำกัด ที่ถือว่าเป็นสิ่งที่เข้าใกล้ $0$.
ฉันเข้าใจว่าแนวทางที่ไม่เป็นมาตรฐานนั้นใช้งานง่ายและเข้าใจง่าย ในความเป็นจริงฉันได้ทำแคลคูลัสด้วยวิธีการที่ไม่เป็นมาตรฐานจนกระทั่งเมื่อไม่กี่วันที่ผ่านมาเมื่อฉันพบคำถามเชิงปรัชญาที่เกี่ยวข้องกับสัตว์เล็ก ๆ น้อย ๆ ฉันสับสนอย่างมากเนื่องจากแนวทางนี้และเมื่อฉันเข้าใกล้แคลคูลัสโดยใช้ขีด จำกัด ฉันรู้สึกว่าฉันได้รับความเข้าใจและความชัดเจนในแนวความคิดในระดับใหม่
ตอนนี้ในฟิสิกส์สำหรับฟังก์ชัน $f$, $f'(x)$ หรือ $\dfrac{df}{dx}$ ถูกตีความว่าเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของ $f(x)$ โดยมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย $x$เช่น $dx$. นอกจากนี้ยังตีความได้ว่าประมาณความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งของ$f$ ที่ $(x,f(x))$. วิธีนี้และสัญชาตญาณทางเรขาคณิตยังใช้เพื่อให้ได้มาซึ่งทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสซึ่งระบุว่าถ้า$F(a)$ ให้พื้นที่ใต้เส้นโค้งของ $f(x)$ จาก $x = 0$ ถึง $x = a$เช่น $$F(a) = \int_0^a f(x)dx$$ จากนั้น $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Bigg|_a^b$$ ที่ไหน: $$F'(x) \text{ or } \dfrac{dF}{dx} = f(x)$$ วิธีการที่ไม่เป็นมาตรฐานยังใช้เพื่อหาสูตรบางอย่างเช่นเดียวกับการทำงานซึ่งได้มาดังนี้:
- สำหรับการกระจัดที่น้อยที่สุด $dx$งานที่ทำได้น้อยมากเช่น $dW$ คือ $F_2(x)\cdot dx$
- จำนวนงานทั้งหมดที่ทำเช่น $W$, คือ $\int_a^bF_2(x)\cdot dx$ (หมายเหตุ: ที่นี่ $F_2(x)$ หมายถึงแรงที่อนุภาคได้รับในตำแหน่ง $(x)$. ตัวอย่างเช่นหากเรากำลังพูดถึงแรงไฟฟ้าสถิต$F_2(x) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x^2}$.)
ดังนั้นโดยพื้นฐานแล้วแคลคูลัสส่วนใหญ่ที่ใช้ในฟิสิกส์จึงถูกใช้โดยการใช้ infinitesimals และการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน
แต่การวิเคราะห์มาตรฐานดูเหมือนจะเข้มงวดมากขึ้นสำหรับฉันและสมเหตุสมผลกว่ามาก ฉันถามเพื่อนสองสามคนที่ถามครูว่าจะใช้การวิเคราะห์มาตรฐานในฟิสิกส์แทนการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานได้อย่างไร แต่ไม่มีครูคนไหนที่จะรำคาญ
ดังนั้นฉันจึงอยากรู้ว่าฉันจะเข้าใกล้ฟิสิกส์ผ่านการวิเคราะห์มาตรฐานได้อย่างไร
PS: ผมอยู่ในปัจจุบัน 10 THเกรดและได้ครอบคลุมเพียงพื้นฐานของ 11 THเกรดเลย คำตอบที่ฉันสามารถเข้าใจได้โดยที่ไม่ค่อยมีความรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ขั้นสูง
แก้ไข: ฉันรู้สึกขอบคุณมากสำหรับสองคำตอบที่ฉันได้รับแล้ว ฉันมุทะลุสันนิษฐานว่าการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานและการใช้แก้ปัญหาของ infinitesimals เป็นหนึ่งเดียวกันซึ่งเป็นกรณีที่ไม่เป็นออกแหลมโดยผู้ใช้QmechanicและPM 2Ring ฉันต้องการชี้แจงว่าเมื่อใดก็ตามที่ฉันใช้คำว่า 'การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน' ฉันหมายถึงการรักษา$dy$, $dx$ฯลฯ ตามความเป็นจริงตัวเลขที่น้อยมากและของ $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นอัตราส่วน ...
คำตอบ
ดังนั้นโดยพื้นฐานแล้วแคลคูลัสส่วนใหญ่ที่ใช้ในวิชาฟิสิกส์จึงใช้การวิเคราะห์แบบไม่ จำกัด และไม่ได้มาตรฐาน
หลักฐานนี้ไม่เป็นความจริง ในขณะที่ข้อโต้แย้งทางฟิสิกส์เกี่ยวกับสัตว์เล็ก ๆ น้อย ๆ อาจคล้ายกับข้อโต้แย้งทั่วไปใน "การวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐาน" แต่โดยทั่วไปแล้วฟิสิกส์เบื้องต้นจะไม่ดำเนินการในระดับความเข้มงวดซึ่งคุณสามารถตัดสินใจได้อย่างชัดเจนว่าใช้การวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐานหรือไม่ ฟิสิกส์ไม่สนใจคำถามพื้นฐานของการวิเคราะห์และเช่นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นการประมาณความชันโดยไม่คำนึงถึงรากฐานที่คุณใช้อยู่ (อาจมีผลมากหรือน้อยในการได้มาซึ่งขึ้นอยู่กับรากฐานของคุณ แต่ก็ยัง เป็นจริงเสมอ)
หากคุณกำลังมองหาความเข้มงวดมักจะมีการตีความที่ถูกต้องเท่าเทียมกันของ "infinitesimals" ทางกายภาพในแง่ของรูปแบบที่แตกต่างมาตรฐานเช่น$\mathrm{d}W = F(x)\mathrm{d}x$ เป็นเพียงคำจำกัดความของรูปแบบ 1 ที่เรียกว่า $\mathrm{d}W$ซึ่งเป็นส่วนประกอบเหนือเส้นทาง $\gamma$ ถูกกำหนดให้เป็นผลงาน $W[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d}W$ ตามเส้นทาง
ความเข้มงวดระหว่าง NSA และการวิเคราะห์มาตรฐานไม่มีความแตกต่างกัน (ในแง่ของทฤษฎีแบบจำลองจะมีความเท่าเทียมกัน) อย่างไรก็ตามแคลคูลัสส่วนใหญ่ที่คุณเห็นในเอกสารและหนังสือทางฟิสิกส์จะต้องได้รับการปรับปรุงใหม่หรือทำอย่างละเอียดเล็กน้อยเพื่อให้เป็น NSA
โดยทั่วไปการแปลกลับไปกลับมาระหว่างสองภาษานั้นเป็นเรื่องเล็กน้อย นักวิทยาศาสตร์และวิศวกรควรมีความชำนาญทั้งสองอย่าง