ค้นหาเวอร์ชันที่แข็งแกร่งกว่าของ $9 ( a+b+c ) ^{2} ( ab+ac+bc ) ^{2}+108a^2b^2c^2-31abc ( a+b+c ) ^{3} \geqslant 0$

Question

สำหรับ $a,b,c \geqslant 0.$ แล้ว $$9 ( a+b+c ) ^{2} ( ab+ac+bc ) ^{2}+108a^2b^2c^2-31abc ( a+b+c ) ^{3} \geqslant 0.$$ ฉันใช้คอมพิวเตอร์และพบว่าอสมการที่แข็งแกร่งกว่าต่อไปนี้ถือเป็นจำนวนจริงทั้งหมดของ $a,b,c.$

$$\sum (a^2 -bc) \Big[9\, \left( a+b+c \right) ^{2} \left( ab+ac+bc \right) ^{2}+108\,{a}^{2 }{b}^{2}{c}^{2}-31\,abc \left( a+b+c \right) ^{3}\Big] \geqslant \frac{81}{4} \sum ab \prod \left( a-b \right) ^{2}$$

และนอกจากนี้ยังมี: $$\sum (a^2 -bc) \Big[9\, \left( a+b+c \right) ^{2} \left( ab+ac+bc \right) ^{2}+108\,{a}^{2 }{b}^{2}{c}^{2}-31\,abc \left( a+b+c \right) ^{3}\Big] \geqslant {\frac {27}{4}}\, \left( a+b+c \right) ^{2} \prod \left( a-b \right) ^{2}$$

อสมการอื่นใด$?$

Answer 1

มีรุ่นที่แรงกว่าดังต่อไปนี้

ปล่อย $a$, $b$ และ $c$ไม่ใช่เชิงลบ พิสูจน์ว่า:$$9 ( a+b+c ) ^{2} ( ab+ac+bc ) ^{2}+108a^2b^2c^2-31abc ( a+b+c ) ^{3}\geq$$ $$\geq4(3\sqrt3-4)(a^3+b^3+c^3-3abc)abc.$$

ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นสำหรับ $a=b=c$ และสำหรับ $(a,b,c)=t(6+4\sqrt3,1,1)$, ที่ไหน $t\geq0$ และสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนแบบวนรอบของสุดท้าย

แม้ว่าเราจะแทนที่ $4(3\sqrt3-4)$ บน $4$BW ไม่ได้ช่วยที่นี่!

อย่างไรก็ตามอสมการนี้เราพิสูจน์ได้โดย $uvw$ ทันที:

มันเทียบเท่ากับ $f(v^2)\geq0,$ ที่ไหน $f$ เพิ่มขึ้น

อันที่จริงให้ $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$ และ $abc=w^3$.

ดังนั้นเราต้องพิสูจน์ว่า: $$729u^2v^4+108w^6-31\cdot27u^3w^3\geq4(3\sqrt3-4)(27u^3-27uv^2)w^3$$ หรือ $f(v^2)\geq0,$ ที่ไหน $$f(v^2)=27u^2v^4+4w^6-31u^3w^3-4(3\sqrt3-4)(u^3-uv^2)w^3.$$ แต่ $$f'(v^2)=54u^2v^2+4(3\sqrt3-4)uw^3\geq0,$$ ซึ่งบอกว่า $f$ เพิ่มขึ้นและเพียงพอที่จะพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของเราสำหรับค่าต่ำสุดของ $v^2$ซึ่งโดย $uvw$ เกิดขึ้นสำหรับกรณีความเท่าเทียมกันของสองตัวแปร

เนื่องจากอสมการของเราเป็นเนื้อเดียวกันและสำหรับ $w^3=0$ เห็นได้ชัดว่ามันเพียงพอที่จะสรุปได้ $b=c=1$, ซึ่งจะช่วยให้: $$9(a+2)^2(2a+1)^2+108a^2-31(a+2)^3a\geq4(3\sqrt3-4)(a^3-3a+2)a$$ หรือ $$(a-1)^2(a-6-4\sqrt3)^2\geq0$$ และเราทำเสร็จแล้ว

ดูเหมือนว่าอสมการนี้จะเป็นจริงสำหรับตัวจริงใด ๆ $a$, $b$ และ $c$,

แต่เป็นอีกปัญหาหนึ่ง (เหตุผลก่อนหน้านี้ไม่ได้ช่วยเพราะ $v^2$ สามารถเป็นลบได้)