ค้นหาอนุพันธ์ด้านบนและอนุพันธ์ที่ต่ำกว่า $\overline{D}\mu$ และ $\underline{D}\mu$.
นี่คือแบบฝึกหัดจากทฤษฎีการวัดของ Cohn ที่ฉันไม่เชื่อว่าฉันทำถูกต้อง:
ปล่อย $I$ เป็นส่วนของเส้นตรงใน $\mathbb{R}^2$ ที่เชื่อมต่อจุดต่างๆ $(0,0)$ และ $(1,1)$. กำหนดมาตรการ Borel ที่ จำกัด$\mu$ บน $\mathbb{R}^2$ โดยให้ $\mu(A)$ เป็นการวัด Lebesgue แบบมิติเดียว $A \cap I$. (ให้แม่นยำยิ่งขึ้นให้$T$ เป็นแผนที่ของช่วงเวลา $[0, \sqrt{2}]$ ไปยัง $I$ ให้โดย $T(t) = (t/\sqrt{2})(1,1)$และกำหนด $\mu$ โดย $\mu(A) = \lambda(T^{-1}(A)).)$ ค้นหาอนุพันธ์ด้านบนและอนุพันธ์ที่ต่ำกว่า $\overline{D}\mu$ และ $\underline{D}\mu$.
เรามาเขียนคำจำกัดความเหล่านี้กันก่อน: $$(\overline{D}\mu)(x) = \limsup_{\epsilon \to 0+}\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, \text{ and } e(C) < \epsilon \right\}$$ และ $$(\underline{D}\mu)(x) = \liminf_{\epsilon \to 0+}\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, \text{ and } e(C) < \epsilon \right\},$$ ที่ไหน $\mathscr{C}$ เป็นตระกูลของสี่เหลี่ยมปิดที่ไม่สร้างขึ้นใน $\mathbb{R}^2$ (โดยให้ด้านขนานกับแกนพิกัด) และ $e(C)$ คือความยาวขอบของ $C \in \mathscr{C}$ (และฉันสมมติว่าที่นี่ $\lambda$ Lebesgue เปิดอยู่ $\mathbb{R}^2$แม้ว่าจะใช้สัญกรณ์เดียวกันสำหรับการวัด Lebesgue เมื่อ $\mathbb{R}$).
เห็นได้ชัดว่าถ้า $x \notin I$ แล้ว $(\overline{D}\mu)(x) = 0 = (\underline{D}\mu)(x)$.
ถ้า $x \in I$ จากนั้นสำหรับแต่ละ $C \in \mathscr{C}$ ดังนั้น $x \in C$เรามีสิ่งนั้น $$\frac{\mu(C)}{\lambda(C)} = \frac{\lambda(T^{-1}(C))}{\lambda(C)} = \frac{\sqrt{2}e(C)}{(e(C))^2} = \frac{\sqrt{2}}{e(C)}. $$ ดังนั้นสำหรับการแก้ไข $x \in I$ และสำหรับแต่ละคน $\epsilon >0$เราจะกำหนดชุด $E_\epsilon$ ดังต่อไปนี้: $$ E_\epsilon = \left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, e(C) < \epsilon \right\} = \left\{ \frac{\sqrt{2}}{e(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, e(C) < \epsilon \right\}. $$ ตั้งแต่ $e(C) < \epsilon$, แต่ละ $\sqrt{2}/e(C) \in E_\epsilon$ก็เป็นไปตามนั้น $$\frac{1}{\epsilon} < \frac{\sqrt{2}}{e(C)}, $$ แต่ละ $\sqrt{2}/e(C) \in E_\epsilon$; และตั้งแต่นั้นมา$e(C)$ สามารถสร้างขนาดเล็กตามอำเภอใจได้ตามนั้น $$ \sup\{E_\epsilon: \epsilon > 0\} = \infty. $$ ดังนั้นฟังก์ชัน $f(\epsilon) = \sup\{E_\epsilon: \epsilon > 0\}$ มีแนวโน้มอย่างชัดเจน $\infty$ เช่น $\epsilon \to 0$. ดังนั้น (ฉันเดา?)$(\overline{D}\mu)(x) = \infty$ ถ้า $x \in I$ และ $(\overline{D}\mu)(x) = 0$ ถ้า $x \notin I$... ซึ่งดูเหมือนจะไม่ถูกต้อง
ในทำนองเดียวกันฟังก์ชัน $g(\epsilon) = \inf\{E_\epsilon : \epsilon > 0\}$ มีขอบเขตจากด้านล่างโดย $1/\epsilon$และ $1/\epsilon$ เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต $\epsilon \to 0$. ด้วยประการฉะนี้$g(\epsilon) \to \infty$ เช่น $\epsilon \to 0$เช่นกัน ดังนั้น$\overline{D}\mu = \underline{D}\mu$. อีกครั้งดูเหมือนจะไม่ถูกต้อง ...
คำตอบ
ฉันคิดว่าแนวทางของคุณถูกต้อง นี่คือวิธีของฉันในการทำสิ่งนี้ ฉันจะข้ามขั้นตอนไปเพื่อดูรายละเอียดบางประการ
ก่อนอื่นฉันขยายคำจำกัดความ:
$$(\overline{D}\mu)(x,y)=\overline{\lim_{r\to 0}}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}$$
ในทำนองเดียวกัน
$$(\underline{D}\mu)(x,y)=\underline{\lim_{r\to 0}}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}$$
กรณีที่ 1: ถ้า $(x,y)\notin I$เราสามารถเลือกได้ $r>0$ มีขนาดเล็กเพียงพอ $\overline{B_r(x,y)}\cap I=\emptyset$. สาเหตุก็เพราะว่า$I$ ถูกปิดดังนั้นส่วนเสริมจึงเปิดใน $\mathbb{R}^2$. ดังนั้นสำหรับขนาดเล็กเพียงพอ$r>0$, $$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{0}{\pi r^2}=0$$ ซึ่งหมายความว่า $(\overline{D}\mu)(x,y)=(\underline{D}\mu)(x,y)=0$.
กรณีที่ 2: ถ้า $(x,y)\in I$แล้ว $x=y$. สมมติว่า$(x,x)\neq(0,0)\neq(1,1)$. สำหรับขนาดเล็กเพียงพอ$r>0$, $\overline{B_r(x,y)}\cap I$ เป็นส่วนหนึ่งของส่วนของเส้นตรง $I$ความยาว $2r$. ดังนั้น,$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{2r}{\pi r^2}=+\infty$$ ซึ่งหมายความว่า $(\overline{D}\mu)(x,y)=(\underline{D}\mu)(x,y)=+\infty$.
กรณีที่ 3: เมื่อ $(x,x)=(0,0)$ หรือ $(1,1)$สำหรับขนาดเล็กเพียงพอ $r>0$, $\overline{B_r(x,y)}\cap I$ เป็นส่วนหนึ่งของส่วนของเส้นตรง $I$ความยาว $r$. ดังนั้น,$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{r}{\pi r^2}=+\infty$$
ผลลัพธ์คือ: $(\overline{D}\mu)(x)=(\underline{D}\mu)(x)=0$ ถ้า $(x,y)\notin I$ และ $(\overline{D}\mu)(x)=(\underline{D}\mu)(x)=+\infty$ ถ้า $(x,y)\in I$.