คุณสามารถหารากที่สองของ Pauli-X มากมายได้หรือไม่?
ฉันพยายามหาค่าใช้จ่ายสำหรับประตู Toffoli แบบ n-bit ตามวงจรที่เกิดซ้ำที่นำเสนอในงานของ Barenco ใน Lemma 7.5 ( ประตูประถมสำหรับการคำนวณควอนตัม )
การสร้างต้องการให้เราหารากที่สองของ Pauli X ซ้ำ ๆ ฉันสงสัยว่ามีข้อพิสูจน์ว่าเราสามารถหารากที่สองของ Pauli X กี่ครั้งก็ได้
คำตอบ
เมทริกซ์รวมสามารถยกให้เป็นพลังใดก็ได้รวมถึงพลังเศษส่วนดังนั้นรูทใด ๆ ที่คุณต้องการให้คุณสามารถหาได้ คุณหารากได้โดยการจัดองค์ประกอบของเมทริกซ์โดยเฉพาะการปรับเปลี่ยนค่าลักษณะเฉพาะ (เพิ่มค่าเป็นกำลังที่ต้องการ) จากนั้นนำเมทริกซ์กลับมารวมกัน
ในกรณีของเมทริกซ์ Pauli X ตัวแทนเฉพาะคือ $|+\rangle\langle +|$ และ $|-\rangle\langle -|$ ดังนั้นคุณจะพบรากเช่นนี้:
$$X^s = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 &1\end{bmatrix} + \frac{e^{i \pi s}}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$$
เมื่อเสร็จแล้วความท้าทายที่แท้จริงจะเกิดขึ้น $X^s$ประตูโดยใช้ชุดประตูที่คุณมีอยู่ในคอมพิวเตอร์ของคุณ ตัวอย่างเช่นถ้าคุณกำลังใช้ Clifford + T ชุดประตูแล้วคุณสามารถใกล้เคียงกับการหมุนโดยใช้ชุดของ H และ T เกท
โปรดทราบว่าสำหรับการดำเนินการ NOT ที่มีการควบคุมจำนวนมากจะมีโครงสร้างที่ไม่มีแอนซิลลาที่มีประสิทธิภาพมากกว่าโครงสร้างที่คุณเชื่อมโยงไว้: https://algassert.com/circuits/2015/06/22/Using-Quantum-Gates-instead-of-Ancilla-Bits.html