คุณ“ อ่าน” ฟังก์ชั่นนี้ได้อย่างไร?
ฉันพยายามเข้าใจข้อพิสูจน์ที่คุณต้องสร้างฟังก์ชันฉีด $g:ℕ^ℕ\rightarrowℝ$ ($ℕ^ℕ$ คือชุดของฟังก์ชันทั้งหมดจาก $ℕ$ ถึง $ℕ$) และหนังสือของฉันกำหนดไว้ดังนี้:
ฉันเข้าใจ (obvoiusly) ส่วนที่พูด $0.101001000..$ แต่ฉันไม่เข้าใจสูตรสำหรับ $a_n$. ที่ไหนเอ่ย "สำหรับบางคน$k≥1$"หมายความว่าฉันต้องกำหนด $k$ ก่อนที่จะใช้สูตรนั้นหรือฉันต้องคำนวณค่าที่เปลี่ยนไป$k$ ล่วงเวลา?
ฉันพยายามหาหมายเลขเดียวกันกับที่พวกเขาได้รับสำหรับฟังก์ชันระบุตัวตน (ไฟล์ $0.10100..$) แต่ฉันไม่เห็นว่าพวกเขาได้มาอย่างไรโดยใช้สูตร:
การใช้ฟังก์ชันเอกลักษณ์$i(n)=n$กับ $k=2$ เงื่อนไข "ถ้า $n=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)$ จะกลายเป็น $2+f(i(0))+f(i(1))$ แต่ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าค่าอะไร $f(0)$, $f(1)$ ฯลฯ มี?
พวกคุณช่วยคำนวณตัวเลขที่พวกเขาได้รับโดยใช้ฟังก์ชันระบุตัวตนโดยใช้สูตรนั้นได้ไหม
ขอบคุณ!
คำตอบ
พวกเขามีแนวโน้มที่จะทำผิดและใช้ $i$สำหรับสองสิ่งที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง เช่นหมายถึงเช่นนั้น$i()$ เป็นตัวอย่างง่ายๆสำหรับ $f()$ แต่พวกเขาใช้ $i$เป็นดัชนีและเป็นชื่อฟังก์ชัน คนเลว. แทนที่$i$ เมื่อใช้สำหรับชื่อฟังก์ชันเอกลักษณ์บรรทัดที่ 4, 8 และ 11 ด้วยตัวอย่างเช่น $d$ และอ่านอีกครั้ง
นิพจน์สำหรับ $a_n$มีความซับซ้อนโดยไม่จำเป็นเพิ่มความสับสน มันบอกแค่ว่ามี$f(0)+f(1)+...+f(m)$ ศูนย์บวก $m$ $1$ก่อนละกัน $1$ในการขยายตัว มันเป็นการผกผันเชิงตรรกะที่ทำให้สิ่งที่ง่ายมากฟังดูเป็นคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นแบบฝึกหัดที่คุณสามารถพบได้ในสถานที่ที่มีความจริงจังมากขึ้น ขอโทษที่ทำให้ทรมาน '
$f(0)$,$f(1)$คือค่าของฟังก์ชันหนึ่งที่เลือก ดังนั้นย่อหน้านี้จะอธิบายวิธีการแมปฟังก์ชันกับจำนวนจริง หมายความว่าสำหรับฟังก์ชันใด ๆ ให้สร้างการแมปนี้
ประโยค "ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าค่าใด $f(0)$, $f(1)$ฯลฯ มีหรือไม่ "แสดงว่ามีความเข้าใจผิดเกิดขึ้น: $f$จะให้กับคุณ มันเป็น "จุด" ที่มีพิกัดมากมาย$\bigl(f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $\ldots\bigr) $. ตอนนี้คุณต้องเข้ารหัสจุดนี้เป็นสตริงไบนารีที่พิกัดทั้งหมด$f(i)$สามารถรับได้ในภายหลัง ดูเหมือนว่าคุณจะเข้าใจแนวคิดของการก่อสร้างตามที่แสดงในตัวอย่าง
ปัญหาตอนนี้คือการหาคำอธิบาย "ทางคณิตศาสตร์" ของแนวคิดการก่อสร้าง คำอธิบายที่ระบุจะถ่ายทอดความคิดได้มากหรือน้อย แต่สันนิษฐานว่าผู้อ่านรู้อยู่แล้วว่าเกิดอะไรขึ้น ฉันจะทำด้วยวิธีต่อไปนี้:$f: \>{\mathbb N}_{\geq0}\to{\mathbb N}_{\geq0}$กำหนดตัวเลข $n_k$ $(k\geq1)$ ดังต่อไปนี้: $$n_k:=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)\qquad(k\geq1)$$ และใส่ $$a_{n_k}:=1\quad(k\geq1),\qquad a_n=0\quad({\rm otherwise})\ .$$