คุณสมบัติการยกที่เหมาะสมกับคอมเพล็กซ์เซลล์สัมพัทธ์
ดังนั้นฉันจึงศึกษาบันทึกเกี่ยวกับทฤษฎีโฮโมโตปี้เหล่านี้ มีโจทย์ (2.10) ซึ่งระบุว่าสำหรับคอลเลกชันของ morphisms ใด ๆ$K \subset \mathrm{Mor}(C)$ คอลเลกชัน KProj ของ $K$-projective morphisms และ KInj ของ $K$- สัณฐานวิทยาเป็นไปตามสิ่งต่อไปนี้
$\bullet$ ชั้นเรียนทั้งสองถูกปิดภายใต้องค์ประกอบและ KProj ปิดภายใต้องค์ประกอบที่ไม่สิ้นสุด
$\bullet$ ชั้นเรียนทั้งสองถูกปิดภายใต้การดึงกลับขึ้นรูปในหมวดลูกศรของ $C$.
$\bullet$ KProj ปิดอยู่ภายใต้การขึ้นรูปของ morphisms ใน $C$ และ KInj ปิดอยู่ภายใต้การดึงกลับของ morphisms ใน $C$.
$\bullet$ KProj ปิดให้บริการภายใต้การขึ้นรูปผลิตภัณฑ์ร่วมในหมวดลูกศรของ $C$ และ KInj ปิดให้บริการภายใต้ผลิตภัณฑ์ขึ้นรูปในหมวดลูกศรของ $C$.
ในฐานะที่เป็นข้อพิสูจน์ของโจทย์ดังกล่าวเรามี:
ปล่อย $C$ เป็นหมวดหมู่ที่มี colimits ขนาดเล็กทั้งหมดและให้K⊂Mor ($C$) เป็นระดับย่อยของสัณฐานวิทยา จากนั้น morphism แบบฉีด K ทุกตัวจะมีคุณสมบัติในการยกที่เหมาะสมเมื่อเทียบกับคอมเพล็กซ์ของเซลล์ K-relative ทั้งหมดและการหดกลับของพวกมัน
ปัญหาคือฉันมองไม่เห็นว่าเหตุใดจึงมีผลตามมาฉันได้ลองใช้คุณสมบัติสากลของพุชเอาต์ในองค์ประกอบที่ไม่ จำกัด ของเซลล์คอมเพล็กซ์ แต่ดูเหมือนจะไม่ได้ผลบางทีฉันอาจจะไม่เห็นอะไรบางอย่าง เหรอ? ขอความช่วยเหลือใด ๆ
คำตอบ
ทุก morphism ใน $K\textrm{-Inj}$ มีสิทธิ์ยกทรัพย์สินที่เกี่ยวกับ $K$. พิจารณา$(K\textrm{-Inj})\textrm{-Proj}$. ทุก morphism ใน$K\textrm{-Inj}$ มีสิทธิ์ยกทรัพย์สินที่เกี่ยวกับ $(K\textrm{-Inj})\textrm{-Proj}$และ $K \subseteq (K\textrm{-Inj})\textrm{-Proj}$. โจทย์กล่าวว่า$(K\textrm{-Inj})\textrm{-Proj}$ถูกปิดภายใต้ pushouts การหดกลับและองค์ประกอบที่ไม่ จำกัด ข้อเรียกร้องดังต่อไปนี้