คือ Dirac $\delta$- ฟังก์ชันจำเป็นต้องสมมาตร?
Dirac $\delta$ฟังก์ชันหมายถึงการแจกแจงที่เป็นไปตามข้อ จำกัด เหล่านี้:
$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$
$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$
ผู้เขียนบางคนยังใส่ข้อ จำกัด อื่นที่ Dirac $\delta$- ฟังก์ชันเป็นแบบสมมาตรกล่าวคือ $\delta(x)=\delta(-x)$
ตอนนี้คำถามของฉันคือเราจำเป็นต้องกำหนดข้อ จำกัด ที่ Dirac แยกกันหรือไม่ $\delta$- ฟังก์ชันสมมาตรหรือมาจากข้อ จำกัด อื่น ๆ โดยอัตโนมัติ?
เพื่อแสดงคำถามของฉันอย่างชัดเจนฉันจะกำหนดฟังก์ชันเช่นนี้: $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ ที่ไหน ${\rm rect}(x)$ ถูกกำหนดให้เป็น: $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ ไม่สมมาตรอย่างแน่นอน แต่เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$
ตอนนี้คำถามของฉันคือเราสามารถกำหนด $ξ(t)$ เป็นฟังก์ชัน Dirac Delta หรือไม่?
คำตอบ
"ฟังก์ชันเดลต้า" ไม่ใช่ฟังก์ชัน แต่เป็นการแจกแจง การแจกจ่ายเป็นใบสั่งยาสำหรับวิธีกำหนดหมายเลขให้กับฟังก์ชันทดสอบ การแจกแจงนี้อาจ แต่ไม่จำเป็นต้องมีค่าฟังก์ชันในความหมายธรรมดา ในกรณีของการแจกแจงแบบเดลต้าจะไม่มีค่าฟังก์ชัน
ดังนั้นคำสั่งเช่น
$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ ความหมาย "มูลค่าของ $\delta$ ที่ $x$ เท่ากับมูลค่าของ $\delta$ ที่ $-x$"ไม่มีความหมาย / ไม่ถูกต้อง
แต่คำสั่ง $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ อาจจะถูกต้อง
คุณสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าฟังก์ชันของ $\Delta$ และ $x$ (นิพจน์หลังเครื่องหมาย จำกัด ในนิยามของ $\xi$) ไม่เป็นไปตามข้อใดข้อหนึ่งในสองคำสั่งนี้ (ในบทบาทของ $\delta$). มันจึงไม่ "สมมาตร"
การแจกแจงแบบเดลต้าสามารถตอบสนองได้เฉพาะคำสั่งที่สองเท่านั้น มันทำได้หรือไม่?
เราสามารถประเมินความเท่าเทียมกันได้ทั้งสองด้าน ด้านซ้ายมือมีค่าตามคำจำกัดความของ$\delta(x)$, $f(0)$.
เราสามารถแปลงอินทิกรัลด้านขวามือให้เป็น $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ ตามความหมายของ $\delta(y)$ค่าของอินทิกรัลนี้คือ $f(0)$เช่นเดียวกับด้านซ้ายมือ ดังนั้น (**) พอใจ
สมการ $\delta(x) = \delta(-x)$ จึงเป็นผลมาจากคำจำกัดความของ $\delta(x)$ไม่ใช่สมมติฐานที่เป็นอิสระ
ฟังก์ชันของคุณ $\xi$ อาจปฏิบัติตามคำสั่งที่สองด้วยเช่นกัน (ดังนั้นจึงสมมาตรในแง่นั้น) แม้ว่าไฟล์ $\Delta$- นิพจน์อิสระหลังเครื่องหมาย จำกัด ไม่ สิ่งนี้คล้ายกับการประมาณอื่น ๆ ของการแจกแจงเดลต้า การประมาณอาจไม่มีคุณสมบัติของ$\delta$ (เช่นสมมาตร) แต่มีขีด จำกัด
สัญลักษณ์ $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ ด้วยสองอาร์กิวเมนต์ $x,y\in\mathbb{R}$เป็นสัญกรณ์เคอร์เนลที่ไม่เป็นทางการสำหรับการแจกแจงเดลต้า Dirac $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ กำหนดเป็น
$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$
สำหรับ testfunctions $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ เป็นไปตามที่เดลต้า Dirac ที่กำหนดไว้ข้างต้นเป็นแบบสมมาตร $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$cf. คำถามหัวข้อของ OP
ฟังก์ชันเดลต้าคือการแจกแจงซึ่งกำหนดไว้ในชุดของฟังก์ชัน นักคณิตศาสตร์มักจะแสดงสิ่งนี้โดยใช้สัญกรณ์ bra-ket โดยที่ฟังก์ชันเดลต้าคือบรา$<\delta|$ และ $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$
หากคุณพูดถึงชุดของฟังก์ชันต่อเนื่องฉันเชื่อว่าคุณไม่จำเป็นต้องมีข้อกำหนดสมมาตร แต่มักไม่เป็นเช่นนั้น ในกลศาสตร์ควอนตัมเราใช้ชุดของฟังก์ชันที่รวมได้กำลังสอง นี่เป็นข้อกำหนดที่ไม่รุนแรงซึ่งอนุญาตให้หยุดทำงานได้
ตอนนี้หากคุณกำลังพิจารณาฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์คุณต้องกำหนดอย่างชัดเจนว่าจะทำอย่างไรการแจกแจงเดลต้าแบบสมมาตรควรเป็น
$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$
และคุณอาจมี "ฟังก์ชันเดลต้า" อื่นที่ทำงานเหมือนกันในฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่ทำงานต่างกันในกรณีที่ไม่ต่อเนื่อง
โบนัส: ในกลศาสตร์ควอนตัมมิติเดียวคุณมี "เดลต้า - เหมือนอุปสรรคที่อาจเกิดขึ้น" ทั้งชุดซึ่งกำหนดโดยหลายวิธีในการเชื่อมต่อ $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ ถึง $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$. ระบบการตั้งชื่อเป็นฝันร้ายที่นี่เนื่องจากข้อผิดพลาดในตำราเรียน "เดลต้า" หรือ "อุปสรรคที่รองรับในจุดเดียว" แต่ละอันสามารถมองว่าเป็นกฎในการเข้าร่วมช่วงเวลา$(-\infty, 0)$ และ $(0, \infty)$.