ความละเอียดอ่อนในปัญหา Brachistochrone
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างเฉพาะของปัญหา brachistochrone ซึ่งฉันพบครั้งแรกในโรงเรียนระดับบัณฑิตศึกษาและบางครั้งฉันก็ใช้เป็นปัญหา hw ในการสอน CM
อนุภาคเริ่มต้นจากการพักผ่อนที่จุดกำเนิดและถูก จำกัด ให้ตกอยู่ภายใต้แรงโน้มถ่วงตามเส้นทาง $y(x)$ ซึ่งผ่านจุดนั้น $x=5$, $y=-1$(ในหน่วยโดยพลการเช่นเมตร) เราจะถือว่าศักย์โน้มถ่วงเป็นเส้นตรง$V=mgz$.
ก) กำหนดเส้นทางที่ลดเวลาที่ใช้ สร้างพล็อตของเส้นทางนั้น
b) มีเส้นทางอื่นที่ทำให้เวลาหยุดนิ่งหรือไม่? ถ้าใช่ให้สร้างพล็อตของเส้นทางนั้นและอธิบายว่าเส้นทางนี้เป็นค่าต่ำสุดสูงสุดหรือจุดอาน
การแก้ปัญหา brachistochrone เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วดังนั้นงานนี้จึงเกี่ยวกับการค้นหาไซโคลิดเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขขอบเขต ตามที่ส่วน b ระบุว่ามีมากกว่าหนึ่ง: ไซโคลิดมาตรฐานและสองไซโคลิดที่ `` เด้ง ''

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนแล้วว่าไซโคลิดธรรมดาเป็นค่าต่ำสุดที่แน่นอนเนื่องจากเวลาในการเคลื่อนที่เป็นสัดส่วนกับมุมที่ลากออก แต่อีกสองคนล่ะ? พวกเขาควรจะเป็นอานม้าอย่างไร้เดียงสา แต่รูปแบบที่สองของการทำงานของแอ็คชั่นนั้นเป็นไปในเชิงบวกอย่างชัดเจนซึ่งบ่งชี้ว่าเป็น minima ในท้องถิ่น แต่นั่นไม่สามารถถูกต้องได้เว้นแต่จะมีบางอย่างที่ตลกเกี่ยวกับโทโพโลยีของพื้นที่ของเส้นทาง จุดอานไซโคลิดที่สูงกว่าหรือมินิม่า?
PS: เพื่อให้เห็นว่าไซโคลลอยด์ที่สูงกว่าไม่สามารถยกเลิกได้โดยง่ายในฐานะโซลูชันให้พิจารณาพล็อตของส่วนประกอบความเร็วนี้ $(v_x,v_y)$ เป็นฟังก์ชันของเวลาสำหรับไซโคลิดที่สอง

ส่วนประกอบที่เกี่ยวข้องของการเร่งความเร็วคือ:

เห็นได้ชัดว่าการเร่งความเร็ว (และแรง จำกัด ) นั้นราบรื่นอย่างสมบูรณ์แบบ
คำตอบ
TL; DR: เส้นทางที่สร้างขึ้นทีละชิ้นจากมากกว่า 1 ไซโคลิด (แต่ละอันอาจมีพลังงานต่างกัน$E$ดูด้านล่าง) และ cusps ที่ $x$- แกนไม่อยู่นิ่ง
หลักฐานร่าง:
จำได้ว่าการกระทำ (= เวลาที่ใช้ไป) ของปัญหา brachistochroneคือ$$S~=~\int_0^a\! \mathrm{d}x~L,\qquad L~=~\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{y}},\qquad y~\geq~ 0,\tag{1}$$ ด้วยเงื่อนไขขอบเขต $y(0)=0$ และ $y(a)=b$. (ที่นี่$y$- แกนชี้ลงด้านล่างและเราเลือกหน่วยเวลาและพื้นที่ที่เรียบง่ายเช่นนั้น $2g=1$.)
ทางร่างกายเราต้องการเส้นทางนั้น $x\mapsto y(x)$อย่างน้อยก็ต่อเนื่อง ในทางคณิตศาสตร์ปริพันธ์ควรเป็นแบบบูรณาการของ Lebesgue เพื่อให้ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แต่ยังรวมตัวอย่างของ OP เราจะทำการประนีประนอมที่สะดวกและถือว่าเส้นทางนั้น$x\mapsto y(x)$มีความแตกต่างอย่างต่อเนื่องทีละชิ้นแม้ว่าเราจะยอมให้อนุพันธ์$y^{\prime}\equiv \frac{dy}{dx}$ จะกลายเป็นเอกพจน์ที่จุดระหว่างชิ้นส่วนตราบใดที่อินทิเกรตยังคงรวม Lebesgue ได้
ตามนั้นเส้นทางที่หยุดนิ่งจำเป็นต้องเป็นไปตามสมการ Euler-Lagrange (EL)ภายในการตกแต่งภายในของแต่ละชิ้น อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติมที่จุดระหว่างชิ้นส่วน
ตั้งแต่ Lagrangian $L$ ไม่มีความชัดเจน $x$- ขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องพลังงานที่สอดคล้องกัน (ภายในชิ้นส่วน) ได้รับการอนุรักษ์: $$E~=~ y^{\prime} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-L~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{1}{\sqrt{y(1+y^{\prime 2})}}~<~0.\tag{2}$$
วิธีแก้ปัญหาคือไซโคลิด: $$\begin{align} 2E^2x~=~&\theta-\sin\theta~\approx~\frac{\theta^3}{6},\cr 2E^2y~=~&1-\cos\theta~\approx~\frac{\theta^2}{2},\end{align}\tag{3}$$โดยที่การประมาณนั้นถูกต้องใกล้กับจุดสูงสุด สมการปากมดลูกจะกลายเป็น$$ y~\stackrel{(3)}{\propto}~ x^{2/3}.\tag{4}$$ ใกล้กับจุดยอดอนุภาคกำลังเคลื่อนที่อย่างอิสระซึ่งจะราบรื่นตามหน้าที่ของเวลา $t$.
ตอนนี้ความคิดคือการตัดส่วนยอดในแนวนอนบางส่วน $y=\epsilon\ll 1$กล่าวคือบางครั้ง $x~\propto~ y^{3/2}~=~\epsilon^{3/2}$. (เราพิจารณาเพื่อความเรียบง่ายเพียงแค่กิ่งก้านด้านขวาของปากแตร - สาขาด้านซ้ายจะคล้ายกัน) การกระทำของปากแตรคือ$$L~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\frac{1}{|E|y}~\stackrel{(4)}{\propto}~ x^{-2/3}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~x^{1/3} ~\propto~\epsilon^{1/2}.\tag{5}$$ สำหรับการเปรียบเทียบการกระทำของเส้นทางแนวนอนจะเร็วกว่าที่คาดไว้: $$L~\stackrel{(1)}{=}~\frac{1}{\sqrt{y}}~=~ \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~\frac{x}{\sqrt{\epsilon}} ~\stackrel{(4)}{\propto}~\epsilon.\tag{6}$$ นี่แสดงให้เห็นว่าเราสามารถเปลี่ยนการกระทำเป็นลำดับแรกได้ $\epsilon$ดังนั้นเส้นทางจึงไม่อยู่นิ่ง $\Box$