ความนูนที่เข้มงวดบวกกับความสัมพันธ์แบบไม่แสดงอาการบ่งบอกถึงค่าเฉลี่ยที่มีขอบเขต
ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นระดับการวิจัยหรือไม่ แต่ฉันกำลังดิ้นรนเพื่อหาข้อพิสูจน์สำหรับข้อเรียกร้องต่อไปนี้:
ปล่อย $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ เป็น $C^2$ ฟังก์ชั่นนูนอย่างเคร่งครัด
ปล่อย $\lambda_n \in [0,1],a_n\le c_0<b_n \in [0,\infty)$ พอใจ $$ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n)b_n=c_n $$ และสมมติว่า $c_n \to c>c_0$.
ชุด $D_n=\lambda_nF(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)-F\big(c_n\big) $และสมมติว่า $\lim_{n \to \infty}D_n=0$
คำถาม:ต้อง$b_n$ ถูกผูกมัด?
ฉันมีหลักฐานค่อนข้างง่าย (ซึ่งฉันนำเสนอด้านล่าง) สำหรับกรณีพิเศษที่ $a_n=a,c_n=c$ เป็นลำดับคงที่ แต่ฉันมีปัญหาในการสรุป
หลักฐานสำหรับกรณีที่เรียบง่าย:
เรามี $ \lambda_n a +(1-\lambda_n)b_n=c$.
ให้ $x \ge r$, ปล่อย $\lambda(x) \in [0,1]$ เป็นหมายเลขเฉพาะที่น่าพอใจ $$ \lambda(x) a +(1-\lambda(x))x=c. $$ เรามี $\lambda(b_n)=\lambda_n$. กำหนด$$g(x) = \lambda(x) F(a) + (1-\lambda(x))F(x).$$
ความนูนที่เข้มงวดของ $F$ บอกเป็นนัยว่า $g$ เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดของ $x$.
สมมติฐาน $D_n \to 0$ เทียบเท่ากับ $g(b_n) \to F(c)$. ตั้งแต่$g(b_n) \ge F(c)$ (โดยนูน) และ $g$ เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดเราสรุปได้ว่า $b_n$ จะต้องมีขอบเขต
คำตอบ
ใช่, $b_n$จะต้องมีขอบเขต สมมติว่าตรงกันข้าม ผ่านไปในเวลาต่อมาเราอาจคิดว่า$a_n\to a$, $b_n\to \infty$. เรามี$$\lambda_n=\frac{b_n-c_n}{b_n-a_n}\to 1;\, 1-\lambda_n=\frac{c_n-a_n}{b_n-a_n}\sim (c-a)b_n^{-1},$$ และใช้ $F(b_n)\geqslant F(c_n)+(b_n-c_n)F'(c_n)$ เราได้รับ $$ D_n+F(c_n)=\lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)\geqslant \lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(c_n)+(1-\lambda_n)(b_n-c_n)F'(c_n)\\ \to F(a)+(c-a)F'(c)>F(c), $$ ดังนั้น $\liminf D_n>0$.