ความแตกต่างระหว่าง Path คืออะไร $\infty$-groupoid และ Smooth Fundamental $\infty$- ไม่มีพื้นที่เรียบ?

Question

เมื่อสองสามวันก่อนฉันถามคำถามHomotopy Hypothesis รุ่น Geometric / Smooth ที่ใช้เส้นทางหรือไม่$\infty$- ไม่มีพื้นที่เรียบ? ในMOเกี่ยวกับการมีอยู่ของสมมติฐานโฮโมโตปีแบบเรียบ / เรขาคณิตที่เป็นไปได้โดยใช้แนวคิดของเส้นทาง$\infty$- ไม่มีพื้นที่เรียบ

หลังจากการสนทนาในส่วนความคิดเห็นกับ@David Roberts ฉันมีความรู้สึก (แต่ไม่มั่นใจอย่างสมบูรณ์) ว่าแม้ว่า Path 1-groupoid และ 1-groupoid พื้นฐานที่ราบรื่นของพื้นที่เรียบจะเป็นวัตถุที่แตกต่างกันมาก แต่"ถ้าเราเลื่อนไปจนถึงระดับอินฟินิตี้"และนำเสนอเป็นKan Complexesจากนั้นก็จะกลายเป็นวัตถุชิ้นเดียวกัน

เมื่อ 3 เดือนก่อนฉันถามคำถามMOต่อไปนี้การรับรู้ทางเรขาคณิตของเส้นประสาทของกลุ่มพื้นฐานของช่องว่างคืออะไร? .

จากการอภิปรายใน

1. มี Homotopy Hypothesis เวอร์ชันเรขาคณิต / เรียบโดยใช้เส้นทางหรือไม่ $\infty$- ไม่มีพื้นที่เรียบ?

2. การรับรู้ทางเรขาคณิตของเส้นประสาทของกลุ่มพื้นฐานของช่องว่างคืออะไร?

ตอนนี้ฉันมีคำถาม / ข้อสงสัยดังต่อไปนี้:

เราทราบดีว่าการสร้าง Smooth Fundamental 1-Groupoid และ Path 1-Groupoid ของพื้นที่เรียบทำให้เกิด functors ตามธรรมชาติ $Man \rightarrow Groupoids$. ตอนนี้จากการอภิปรายในการรับรู้ทางเรขาคณิตของเส้นประสาทของกลุ่มพื้นฐานของช่องว่างคืออะไร? ฉันคาดหวังอย่างนั้น$|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|$ มีข้อมูลทั้งหมดของกลุ่ม Homotopy ที่ 1 ของพื้นที่เรียบ $X$ ที่ไหน $N$เป็นเส้นประสาท functor,$\pi_{\leq 1}$เป็นFunctor 1-Groupoid Smooth Fundamentalและ$|-|$เป็นfunctor สำนึกทางเรขาคณิต ตอนนี้เราสามารถทำซ้ำขั้นตอนเดียวกันกับ Path 1-Groupoid functor$\pi'_{\leq 1}: Man \rightarrow Groupoids$.

คำถามของฉันมีดังต่อไปนี้:

1. คือ $|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|= |N \circ \pi'_{\leq 1}(X)|$เหรอ? (ที่ไหน "$=$"อยู่ในความหมายที่เหมาะสม)

2. มีวิธีการนำเสนอ Path $\infty$- ไม่มีพื้นที่เรียบซึ่งแตกต่างจาก Smooth Fundamental $\infty$- ไม่มีที่ว่าง? (เพื่อให้ตรงกับสัญชาตญาณของเราสำหรับ$n=1$ กรณี)

(โดย "$n$"ฉันหมายถึง" Groupoids ในระดับ 1 ")

Answer 1

ฉันตอบคำถามแรกของคุณได้เท่านั้นและคำตอบคือไม่ ยกตัวอย่างเช่น$X=\mathbb{R}^2$เพื่อให้ groupoid พื้นฐานนั้นไม่สำคัญ แต่ groupoid พา ธ มีลูกศรที่แตกต่างกันซึ่งแสดงโดยวงกลมของรัศมีเชิงบวกทุกอันที่ผ่านจุดฐานคงที่ (และอื่น ๆ อีกมากมายนอกเหนือจากนั้น) นี่คือการเพิกเฉยต่อคำถามทั้งหมดของโทโพโลยีหรือโครงสร้างเรียบบนชุดของลูกศรซึ่งฉันคิดว่าเป็นเจตนาของคุณ ดังนั้นการรับรู้ทางเรขาคณิตของเส้นประสาทของสิ่งเหล่านี้จึงไม่สามารถเทียบเท่ากับโฮโมโทปีที่อ่อนแอได้เนื่องจากมีการหดตัวและมีกลุ่มพื้นฐานที่ไม่ได้สร้างขึ้นอย่างแน่นอน