ความต่อเนื่องและความแตกต่างที่อ่อนแอด้วยอนุพันธ์ที่อ่อนแออย่างต่อเนื่องบ่งบอกถึงความแตกต่างอย่างต่อเนื่องที่แข็งแกร่ง?
Aug 20 2020
ปล่อย $u: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. ถ้า$u$ มีความแตกต่างอย่างมาก (กล่าวคือแตกต่างในความหมายคลาสสิก) ด้วยอนุพันธ์ที่แข็งแกร่ง $u'$แล้ว $u$ ยังมีความแตกต่างอย่างอ่อน ๆ และอนุพันธ์ที่อ่อนแอทุกตัวจะมีค่าเท่ากับ $u'$ เกือบทุกที่
ตอนนี้สมมติ $u$ มีความต่อเนื่องและมีอนุพันธ์ที่อ่อนแออย่างต่อเนื่องเราสามารถสรุปได้ว่า $u$ มีความแตกต่างอย่างต่อเนื่องในความรู้สึกที่แข็งแกร่ง (เช่นปกติ)?
คำตอบ
1 Surb Aug 19 2020 at 23:07
อนุพันธ์ที่อ่อนแอนั้นไม่ซ้ำกันดังนั้นจึงไม่มี "อนุพันธ์หลายตัว" (สังเกตว่าเราไม่ทำงานกับฟังก์ชันแต่ใช้กับคลาสของฟังก์ชัน )
สำหรับคำถามที่สองคำตอบคือใช่ นี่คือผลที่เรียบง่ายของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส นอกจากนี้แทนการบอกว่า"มีความเป็นอนุพันธ์ที่อ่อนแออย่างต่อเนื่อง"เราค่อนข้างบอกว่า"มีความเป็นตัวแทนอย่างต่อเนื่องของอนุพันธ์"