ความยากในการทำความเข้าใจความสำคัญของ Paradox ของ Grelling
ความเป็นมา:ฉันเป็นมือใหม่คณิตศาสตร์ แต่ยังไม่ได้ลงทะเบียนเรียนในมหาวิทยาลัย ฉันเริ่มอ่านIntroduction to Mathematical Logicของ Mendelson โดยสุ่มเมื่อฉันสะดุดกับความขัดแย้งนี้ในส่วนเกริ่น:
Paradox ของ Grelling:คำคุณศัพท์เรียกว่าautologicalหากคุณสมบัติที่แสดงโดยคำคุณศัพท์ถือไว้สำหรับคำคุณศัพท์เอง คำคุณศัพท์เรียกว่าheterologicalหากคุณสมบัติที่แสดงโดยคำคุณศัพท์ใช้ไม่ได้กับคำคุณศัพท์เอง ตัวอย่างเช่น 'polysyllabic' และ 'English' เป็นแบบ autological ในขณะที่ 'monosyllabic' และ 'French' มีความแตกต่างกัน พิจารณาคำคุณศัพท์ 'heterological' ถ้า 'heterological' เป็น heterological แสดงว่าไม่ใช่ heterological ถ้า 'heterological' ไม่ใช่ heterological แสดงว่าเป็น heterological ไม่ว่าในกรณีใด heterological ก็มีทั้งแบบต่างเพศและไม่ต่างกัน
ฉันต้องการเข้าใจสิ่งต่อไปนี้:
- อะไรคือที่มาของการเข้าใจผิดเชิงตรรกะในความขัดแย้งนี้? ถ้าฉันกำหนดชุด$A$ ของคำคุณศัพท์และชุดย่อยทั้งหมด $A_a$ และ $A_h$ ซึ่งสอดคล้องกับคำคุณศัพท์เกี่ยวกับออโตเมติกและต่างกันตามลำดับอาจเป็นไปได้ว่า $\text{(heterological)}\in A-(A_a\cup A_h)$กล่าวคือไม่เป็นของทั้งสองชุด (เว้นแต่ $A_a\cap A_h=\emptyset$ และ $A_a\cup A_h=A$).
- ผมอยากทราบเกี่ยวกับความสำคัญทางคณิตศาสตร์ของความขัดแย้งนี้และวิธีจัดการกับทฤษฎีเซตสมัยใหม่
แม้ว่าฉันเข้าใจว่าคำตอบอาจเป็นนามธรรมมาก แต่โปรดเพิ่มการเปรียบเทียบที่ง่ายขึ้นพร้อมกับคำอธิบายทางเทคนิคที่จำเป็นหากเป็นไปได้
คำตอบ
ถ้า $A, A_a,$ และ $A_h$ "เข้าท่า" จริง ๆ - เพิ่มเติมจากด้านล่างนี้ - จากนั้นเราก็มีสิ่งนั้น $A_a$ และ $A_h$ พาร์ติชัน $A$: $A_h$ ถูกกำหนดให้เป็น $A\setminus A_a$. ข้อเสนอของคุณไม่ได้ผล
การแก้ไขก็คือ $A_a$ และ $A_h$ในความเป็นจริงมีความซับซ้อนมากกว่าที่ปรากฏ เราจะมีความขัดแย้งหากมีคำคุณศัพท์ "heterological" อยู่$A$. แต่ปรากฎว่าสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น: โดยพื้นฐานแล้วในการกำหนดความนอกรีตเราจำเป็นต้องใช้เพรดิเคตความจริงสำหรับ$A$และเราไม่มีหนึ่งในนั้น$A$ตัวเอง
นี่เป็นวิธีหนึ่งที่จะเห็นความขัดแย้งในการดำเนินการ
ปล่อย $\ulcorner\cdot\urcorner$ เป็นฟังก์ชันเลขที่ Godel ที่คุณชื่นชอบและปล่อยให้ $Form$เป็นชุดของสูตรลำดับที่หนึ่งทั้งหมดในภาษาของเลขคณิต เพื่อความง่ายเรามาเขียน "$\mathbb{N}$"สำหรับโครงสร้าง $(\mathbb{N};+,\times,0,1,<)$. จากนั้นชุด$$X=\{\ulcorner\varphi\urcorner: \mathbb{N}\models\neg\varphi(\underline{\ulcorner\varphi\urcorner})\},$$ เวอร์ชันของ $A_h$ สำหรับสูตรเลขคณิตลำดับที่หนึ่งไม่สามารถกำหนดตัวเองได้ด้วยสูตรเลขคณิตลำดับที่หนึ่ง: ถ้า $X$ ถูกกำหนดโดยสูตรบางอย่าง $\theta$ ของเลขคณิตลำดับที่หนึ่งนั่นคือถ้าเรามี $$X=\{n: \mathbb{N}\models\theta(\underline{n})\}$$ สำหรับบางสูตร $\theta$ ของเลขคณิตลำดับที่หนึ่งเราจะได้ความขัดแย้งโดยพิจารณาว่า $\mathbb{N}\models\theta(\ulcorner\theta\urcorner)$.
โดยทั่วไปแล้วเราสามารถสรุปการตั้งค่าเฉพาะด้านบนเป็นการตั้งค่าใด ๆ ที่เรามีตรรกะบางอย่าง $\mathcal{L}$โครงสร้างบางส่วน $\mathfrak{A}$และกลไก "การเข้ารหัส" ที่เหมาะสมของ $\mathcal{L}$- สูตรเป็น $\mathfrak{A}$. การทำให้รายละเอียดถูกต้องต้องใช้ความคิด แต่ประเด็นก็คือความขัดแย้งของ Grelling แสดงให้เห็นถึงปรากฏการณ์ "ก้าวขึ้น" ขั้นพื้นฐานที่เราไม่สามารถหลีกเลี่ยงได้: ชุด Grelling สำหรับตรรกะ / โครงสร้าง / ระบบการเข้ารหัสเฉพาะไม่สามารถระบุได้ในโครงสร้างนั้นโดย สูตรของตรรกะนั้น
(สังเกตว่า $X$สามารถกำหนดได้ในบริบทที่กว้างขึ้นตัวอย่างเช่นสามารถกำหนดได้ใน$\mathbb{N}$โดยสูตรของตรรกะลำดับที่สองและสามารถกำหนดได้โดยสูตรลำดับที่หนึ่งในจักรวาลของเซตซึ่ง$\mathbb{N}$ เป็นชิ้นเล็ก ๆ )