ข้อสงสัยที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมิติของเส้นใย
- $f:X \rightarrow Y$ เป็น morphism ของพันธุ์เช่นนั้นสำหรับแต่ละคน $p\in Y,\, \dim f^{-1}(p) = n$. แล้ว$\dim X=\dim Y+n$. ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ถ้าฉันแทนที่$X$โดยการตั้งค่าแบบเปิด Affine ทำไมขนาดของเส้นใยจึงเหมือนกัน กรุณาอธิบาย.
- $f:X \rightarrow Y$ เป็นมอร์ฟีนของพันธุ์ Affine สำหรับแต่ละชนิด $p\in W,\, \dim f^{-1}(p) =n$ สำหรับชุดย่อยที่หนาแน่น $W$ ของ $Y$. แล้ว$\dim X= \dim Y+n$. ฉันได้พยายามเขียนหลักฐานเกี่ยวกับสิ่งนี้ซึ่งมีดังนี้:
พิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำ $\dim Y$. ไม่มีอะไรพิสูจน์เมื่อ$\dim Y=0$. ปล่อย$X \subseteq A^{r}, Y \subseteq A^{m}$ ปิด subvarieties $f=(f_{1},...,f_{m})$, ที่ไหน $f_{i} \in K[x_{1},...,x_{r}]$.
ปล่อย $F \in K[x_{1},...,x_{m}] \setminus I(Y)$. $\quad Y^{'}=Y \cap Z(F)$.
$X^{'}=f^{-1}(Y^{'})=X \cap Z(F(f_{1},...,f_{m}))$. $\quad F(f_{1},...,f_{m}) \in K[x_{1},...,x_{r}] \setminus I(X)$.
$\widetilde{X}$ เป็นส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ของ $X^{'}$. $\quad \dim \widetilde{X}=\dim X-1$.
มีองค์ประกอบที่ไม่สามารถแก้ไขได้ $\widetilde{Y}$ ของ $Y^{'}$ ดังนั้น $\quad f(\widetilde{X}) \subseteq \widetilde{Y}$. $\quad \dim \widetilde{Y}=\dim Y-1$.
พิจารณา $f:\widetilde{X} \rightarrow \widetilde{Y}$.
จะสรุปได้อย่างไรว่าไฟเบอร์เหมือนกัน? โปรดแก้ไขปัญหานี้
คำตอบ
สมมติว่าความไม่เอื้ออำนวยที่นี่
เนื่องจากการเปิด affine มีความหนาแน่นโดยการ จำกัด การเปิด affine คุณจึงพลาดไฟเบอร์ทั้งหมดหรือไฟเบอร์กลายเป็นส่วนย่อยที่หนาแน่นของตัวมันเอง (ดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนมิติ) สำหรับภาพในใจให้พิจารณาการฉายภาพเล็กน้อย$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$โดยที่แต่ละเส้นใยเป็นสำเนาของ $\mathbb{P}^1$. หากคุณ จำกัด การเปิด Affine$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$เส้นใยจะกลายเป็น $\mathbb{A}^1$ หรือว่างเปล่า (เกินอินฟินิตี้)
โดยสัญชาตญาณหากคุณพิจารณาแผนที่พีชคณิต $f^*:B=\Gamma(Y)\to A=\Gamma(X)$แล้วอุดมคติสูงสุดทั่วไปใด ๆ $\mathfrak{m}$ ถูกจับคู่กับอุดมคติที่สำคัญบางประการ $P$ ซึ่งสามารถขยายเป็นโซ่ได้ $P\subset P_1\subset\cdots \subset P_n$. สังเกตว่า$f^*$ ควรฉีด (ไม่มาก แต่สมมติว่าที่นี่) จากนั้นอุดมคติสูงสุดจะมีโซ่ $P'_0\subset\cdots\subset P'_{\text{dim}(Y)}=\mathfrak{m}$และภาพของช่วงเวลาเหล่านั้นยังคงเป็นช่วงสำคัญ ดังนั้นคุณจึงมีสายสร้อยยาว$\dim(Y)+n$ ใน $\Gamma(X)$. ฉันไม่แน่ใจว่าการทำสิ่งนี้ให้สมบูรณ์จะง่ายกว่าไหม ...