กรวยเกี่ยวข้องกับกำลังสองอย่างไร? ทำไม 2 เป็นพิเศษ?

Jan 05 2021

ฉันมักจะจู้จี้เกี่ยวกับคำจำกัดความของภาคตัดกรวยสองคำที่ไม่ชัดเจนอย่างมาก (กล่าวคือมันดูลึกลับ / มีมนต์ขลังมากจนชิ้นส่วนของกรวยเกี่ยวข้องกับสมการระดับ 2 ใน 2 ตัวแปร) เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันเจอหน้า / วิดีโอต่อไปนี้:

  • วิดีโอ 3B1B นี้เกี่ยวกับจุดไข่ปลาซึ่งกระตุ้นความปรารถนาของฉันที่จะเข้าใจรูปกรวย
  • เหตุใดสมการกำลังสองจึงเหมือนกับภาคตัดกรวยเวียนขวา ซึ่งนำเสนอวิธีการคำนวณที่ดีในการพยายามแก้ไขคำถามนี้
  • วิดีโอ 3B1B อีกเรื่องเกี่ยวกับการแสดงภาพสามเท่าของพีทาโกรัส (เช่นการหาจุดที่มีเหตุผลของวงกลม)
  • และการบรรยายของ Manjul Bhargava เรื่อง Birch-Swinnerton-Dyer Conjectureโดยที่นาที ~ 10-15 จะกล่าวถึงวิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ของประเด็นที่เป็นเหตุเป็นผลบนรูปกรวย

แม้ว่าวิดีโอของ 3B1B จะมีความหมายและสวยงามมากจากมุมมองทางเรขาคณิต แต่ก็ไม่ได้พูดถึงรูปกรวยอื่น ๆ หรือพูดถึงความสัมพันธ์กับ "ระดับ 2" ยิ่งไปกว่านั้นวิดีโอ 3B1B ที่ 2 ที่ฉันเชื่อมโยงและจากนั้นการบรรยายของ Bhargava เน้นว่า "ระดับ 2" เป็นสิ่งที่เราเข้าใจดีเมื่อเทียบกับระดับที่สูงขึ้น (ทำให้ฉันนึกถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์และการไม่มีอยู่ของวิธีแก้ปัญหาสำหรับ$n>2$).

ดังนั้นฉันคิดว่าคำถามของฉันมีดังนี้:

  1. เหตุใดจากมุมมองที่เข้าใจง่ายเราจึงควรคาดหวังให้กรวยมีความสัมพันธ์อย่างลึกซึ้งกับสมการพีชคณิตระดับศูนย์ 2?

และอื่น ๆ โดยทั่วไป:

  1. มีเหตุผลลึก ๆ ว่าทำไม "2" จึงพิเศษ? ฉันมักจะได้ยินคำพูดที่ว่า "คณิตศาสตร์เป็นเรื่องเกี่ยวกับการเปลี่ยนสิ่งที่สับสนให้เป็นพีชคณิตเชิงเส้น" เพราะพีชคณิตเชิงเส้นเป็น "วิชาคณิตศาสตร์เพียงเรื่องเดียวที่เข้าใจ"; แต่ดูเหมือนว่าเราจะเข้าใจสิ่งดีๆมากมายเกี่ยวกับกำลังสองด้วยเช่นกัน - เรามีความสัมพันธ์ดังกล่าวข้างต้นกับกรวยความเข้าใจที่สมบูรณ์เกี่ยวกับจุดเหตุผลและทฤษฎีบทพีทาโกรัส (โอ้! และฉันแค่คิดถึงความสัมพันธ์กำลังสอง)

นอกจากนี้ยังน่าสนใจที่จะทราบว่าสมการจำนวนมากในฟิสิกส์เกี่ยวข้องกับ 2 (อนุพันธ์อันดับสอง) แม้ว่านั่นอาจเป็นการยืด ขอขอบคุณทุกความคิดที่คุณแบ่งปัน!

คำตอบ

80 QiaochuYuan Jan 05 2021 at 13:14

กรวยเองก็เป็นกำลังสอง! เพียงแค่ในสามตัวแปรแทนที่จะเป็นสอง พื้นผิวทรงกรวยที่แม่นยำยิ่งขึ้นคือ " ไฮเปอร์โบลอยด์ที่เสื่อมสภาพ" เช่น

$$x^2 + y^2 - z^2 = 0.$$

การนำภาคตัดกรวยมาตัดกันเป็นรูปกรวยกับระนาบ $ax + by + cz = d$ซึ่งเท่ากับการแทนที่ตัวแปรหนึ่งในสามตัวแปรด้วยการรวมเชิงเส้นของอีกสองตัวบวกค่าคงที่ซึ่งทำให้เกิดกำลังสองในสองตัวแปร วิธีที่ง่ายที่สุดในการดูคือ if$z$ ถูกแทนที่ด้วยค่าคงที่ $r$ จากนั้นเราจะได้วงกลม $x^2 + y^2 = r^2$ (ซึ่งเป็นวิธีที่คุณสามารถสร้างสมการข้างต้นได้กรวยคือรูปทรงที่มีสไลซ์ $z = \pm r$ คือวงกลมรัศมี $r$). ในทำนองเดียวกันถ้า$x$ หรือ $y$ ถูกแทนที่ด้วยค่าคงที่เราได้ไฮเพอร์โบลา

ฉันไม่รู้ว่าฉันมีภาพที่สมบูรณ์ที่จะนำเสนอว่าทำไมกำลังสองจึงเข้าใจง่ายกว่าคิวบิกและอื่น ๆ บางทีสิ่งที่ง่ายที่สุดที่จะพูดคือรูปแบบกำลังสองมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับเมทริกซ์กำลังสอง (สมมาตร)$M$เนื่องจากสามารถเขียนได้ $q(x) = x^T M x$. และเรามีจำนวนมากของเครื่องมือสำหรับตารางการฝึกอบรมความเข้าใจซึ่งทั้งหมดนั้นจะสามารถนำไปหมีจะเข้าใจรูปแบบสมการกำลังสองเช่นสเปกตรัมทฤษฎีบท วัตถุที่สอดคล้องกันสำหรับรูปแบบลูกบาศก์คือองศา$3$ เทนเซอร์ซึ่งวิเคราะห์ได้ยากกว่า

อาจจะเป็นวิธีที่ค่อนข้างโง่ที่จะพูดแบบนั้น $2$ มีความพิเศษเนื่องจากเป็นจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดซึ่งไม่เท่ากับ $1$. กำลังสองจึงเป็นสิ่งที่ง่ายที่สุดที่ไม่ใช่เชิงเส้นและอื่น ๆ

13 fleablood Jan 05 2021 at 13:48

กรวยคืออะไร?

มันเป็นของแข็งเพื่อให้ทุกส่วนที่ตั้งฉากกับแกนกลางของมันเป็นวงกลมและรัศมีของวงกลมหน้าตัดเหล่านี้เป็นสัดส่วนกับระยะห่างจากจุดยอดของกรวย

และนั่นแหล่ะ พื้นผิวของกรวยเป็นจุด$(x,y,z)$ ที่ไหน $z = h= $ ความสูงของหน้าตัด $= r = $รัศมีของหน้าตัด และ$(x,y)$ คือจุดของวงกลมที่มีรัศมี $r = h = z$.

สมการของวงกลมคือ $\sqrt{x^2 +y^2} = r$ หรือ $x^2 + y^2 = r^2$ สมการของกรวยคือ $x^2 + y^2 = z^2$.

รูปกรวยทุกส่วนเป็นเรื่องที่ตัดกับกรวยด้วยระนาบ ระนาบคือข้อ จำกัด ของตัวแปรทั้งสามที่จะเกี่ยวข้องกันโดยการยับยั้งชั่งใจ$ax +by + cz= k$ และนั่นเป็นเรื่องของการแสดงตัวแปรที่สามเป็นการรวมเชิงเส้นของอีกสองตัวแปร

ดังนั้นส่วนตัดขวางของระนาบและกรวยจะเป็นที่มาของสมการ 2 องศา $x^2 = y^2 = z^2$โดยที่หนึ่งในตัวแปรจะเป็นการรวมเชิงเส้นของอีกสองตัวแปร กล่าวอีกนัยหนึ่งคือสมการระดับที่สองที่มีสองตัวแปร

และนั่นคือทั้งหมดที่มีให้

แน่นอนว่าคำถามที่แท้จริงคือเหตุใดสมการของวงกลม $x^2 + y^2 =r^2$เหรอ? และเป็นเหตุผลที่ว่าดังกล่าวเป็นตัวแทนที่สำคัญของสมการศึกษาระดับปริญญาที่สอง?

และนั่นคือทั้งหมดเพราะทฤษฎีบทพีทาโกรัส ถ้าเราใช้จุดใด$(x,y)$ บนเครื่องบินและพิจารณาสามจุด $(x,y), (x,0)$ และ $(0,0)$สำหรับจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาของสามเหลี่ยมนี้มีความยาว$x$ และ $y$ ดังนั้นโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีความยาว $\sqrt{x^2 + y^2}=h$ และนั่นคือระยะห่างของ $(x,y)$ ถึง $(0,0)$.

ตอนนี้วงกลมคือการรวบรวมจุดที่ระยะห่างจาก $(x,y)$ ถึง $(0,0)$ คือค่าคงที่ $r = h$. ดังนั้นมันจะเป็นจุดทั้งหมด$(x,y)$ ที่ไหน $\sqrt{x^2 + y^2} =r$.

และนั่นแหล่ะ นั่นเป็นเหตุผลว่าระยะทางเกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉากสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กับสมการองศาที่ 2 วงกลมเกี่ยวข้องกับระยะทางกรวยเกี่ยวข้องกับวงกลมและทั้งหมดเกี่ยวข้องกับสมการระดับที่ 2

แค่นั้นแหละ.

7 The_Sympathizer Jan 06 2021 at 00:26

เหตุผลใกล้เคียงคือกรวยจะขึ้นอยู่กับวงกลมและในทางกลับกันวงกลมจะได้รับจากสมการกำลังสอง

$$x^2 + y^2 = r^2$$

. ตอนนี้สำหรับเหตุผลที่วงกลมมีสมการนี้นั่นเป็นเพราะพวกมันเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันระยะทางแบบยุคลิดซึ่งเป็นชุดของจุดทั้งหมดที่ระยะห่างคงที่จากจุดศูนย์กลางที่กำหนดที่นี่ถือเป็นจุดกำเนิดตามอัตภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

$$d(P, Q) = \sqrt{|Q_x - P_x|^2 + |Q_y - P_y|^2}$$

เนื่องจากเหตุใดเมตริกแบบยุคลิดจึงมีรูปแบบนี้ฉันจะบอกว่ามันมีดังต่อไปนี้ เพื่อให้ได้ข้อมูลเชิงลึกมากขึ้นควรพิจารณารูปแบบเมตริกที่ค่อนข้างกว้างกว่านี้

$$d_p(P, Q) := \left(|Q_x - P_x|^p + |Q_y - P_y|^p\right)^{1/p}$$

เรียกว่า $p$- เมตริกซึ่งเป็นผลมาจากการถามว่า "เอาละจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราปล่อยให้กำลังไม่เป็น 2" จึงเหมาะสมสำหรับการตอบคำถามนี้

และปรากฎว่า $d_2$มีคุณสมบัติพิเศษมาก เป็นเพียงสิ่งเดียวที่คุณสามารถใช้วัตถุทางเรขาคณิตประกาศจุดบนวัตถุนั้นเป็นเดือยจากนั้นนำจุดอื่น ๆ บนวัตถุนั้นและติดแท็กวัดระยะทางจากจุดหมุนไปยังจุดแท็กและตอนนี้เปลี่ยนวัตถุนั้น ในลักษณะที่จุดศูนย์กลางคงที่ในขณะที่จุดแท็กหันหน้าไปทางอื่นในระยะทางเดียวกัน แต่ขนาดและรูปร่างโดยรวมของวัตถุทั้งหมดยังคงไม่เปลี่ยนแปลง หรือจะพูดอีกอย่างหนึ่งว่า "การหมุน" ทำให้ความหมายทางเรขาคณิตเป็นการเคลื่อนที่แบบแข็ง

แล้วอะไรคือเหตุผลที่ดีที่สุดที่กรวยเป็นกำลังสอง? เนื่องจากในอวกาศยุคลิดคุณสามารถหมุนสิ่งต่างๆได้ตามต้องการโดยไม่ต้องเปลี่ยนขนาดและรูปร่าง

5 Kapil Jan 06 2021 at 09:25

มีกระดาษของ David Mumfordซึ่งอาจอ่านยากขึ้นอยู่กับระดับการเตรียมตัวของคุณ

สาระสำคัญของบทความนี้คือการบอกว่าระบบสมการพหุนามใด ๆสามารถถูกแทนที่ได้ (โดยการเพิ่มตัวแปรและสมการมากขึ้น) ในระบบสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น

เราอาจสรุปสิ่งนี้เพิ่มเติมเพื่อแสดงให้เห็นว่าถ้าระบบพหุนามมีพารามิเตอร์เราสามารถมั่นใจได้ว่าพารามิเตอร์เหล่านี้จะปรากฏในสมการเชิงเส้นเท่านั้น

กรณีแรกที่พิเศษมากคือกรณีที่คุณได้กล่าวถึง

2 KCd Jan 06 2021 at 05:49

เหตุผลที่ "2" พิเศษสำหรับฟิสิกส์คือกฎข้อที่สองของนิวตันซึ่งเกี่ยวข้องกับแรงกับความเร่ง (ไม่ใช่ความเร็ว) และนั่นคืออนุพันธ์อันดับสอง นอกจากนี้ยังมีบทบาทของกฎกำลังสองผกผัน "2" ด้วย

เหตุผลที่ "2" มีความพิเศษในรูปทรงเรขาคณิตผ่านรูปแบบกำลังสองในหลายตัวแปรคือรูปแบบกำลังสองในตัวแปรหลายตัวมีคุณสมบัติที่ดีบางประการ

  1. รูปแบบกำลังสองทุกรูปแบบทแยงมุมได้เพื่อลบคำไขว้ทั้งหมดดังนั้นคุณสามารถมุ่งเน้นไปที่กรณีของรูปแบบกำลังสองทแยง $a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2$. (พูดอย่างเคร่งครัดสิ่งนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับรูปแบบกำลังสองในฟิลด์ของลักษณะเฉพาะ$2$แต่คุณไม่ได้รับสัญชาตญาณทางเรขาคณิตจากลักษณะเฉพาะ $2$.) ในทางตรงกันข้ามรูปแบบลูกบาศก์อาจไม่สามารถเป็นเส้นทแยงมุมได้แม้จะเกิน $\mathbf C$. ตัวอย่างเช่นรูปลูกบาศก์$y^2z - x^3 + xz^2$ (ซึ่งมีการตั้งค่าศูนย์ในรูปแบบ dehomogenized โดยสมการ $y^2 = x^3 - x$) ไม่สามารถวางในแนวทแยงมุมได้ $\mathbf C$: ดูความคิดเห็นของฉันที่นี่
  1. รูปแบบกำลังสองที่ไม่เป็นหนึ่งเดียวกันทุกรูปแบบจะมีออโตมอร์ฟิสกลุ่มใหญ่ด้วยการสร้างการสะท้อน เรียกว่ากลุ่มมุมฉากของรูปกำลังสอง ตรงกันข้ามกับ "กลุ่มมุมฉาก" ของพหุนามเอกพันธ์ระดับสูงกว่า$f(\mathbf x)$ (นั่นหมายถึงกลุ่มของการแปลงเชิงเส้น $A$ การรักษาพหุนาม: $f(A\mathbf x) = f(\mathbf x)$) มักมีข้อ จำกัด เช่น isometries เดียวของ $x_1^n + \cdots + x_n^n$ สำหรับ $n \geq 3$ คือการเรียงสับเปลี่ยนพิกัดและการคูณพิกัดโดย $n$รากแห่งความสามัคคี

  2. พื้นฐานของเรขาคณิตเป็นแนวคิดของการตั้งฉากซึ่งคุณต้องการให้เป็นความสัมพันธ์ทวิภาคีสมมาตร: $v \perp w$ ถ้าและต่อเมื่อ $w \perp v$, และถ้า $v \perp w$ และ $v \perp w'$ แล้ว $v \perp (ax + a'w')$ สำหรับสเกลาร์ทั้งหมด $a$ และ $a'$. สิ่งนี้แนะนำให้ดูรูปแบบทวิภาคี$B(v,w)$ บนปริภูมิเวกเตอร์และถามเมื่อความสัมพันธ์ $B(v,w) = 0$ (เวอร์ชันนามธรรมของ "$v \perp w$") เป็นแบบสมมาตรปรากฎว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นถ้าและต่อเมื่อ $B$สมมาตรหรือสลับกัน กรณีแรกคือนอกลักษณะ$2$เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการศึกษารูปแบบกำลังสอง $Q(v) = B(v,v)$.

2 Peter Jan 07 2021 at 14:03

ดัชนีหมายเลข 2 มีความพิเศษเกี่ยวกับวิธีที่สามารถกำหนดมุมได้จากระยะทาง

มีฟังก์ชันระยะทาง (บรรทัดฐาน) ที่เป็นไปได้มากมายซึ่งสามารถกำหนดได้ แต่ส่วนใหญ่ไม่อนุญาตให้กำหนดมุมในลักษณะที่สอดคล้องกัน มุมถูกกำหนดจากผลิตภัณฑ์ด้านใน (ผลิตภัณฑ์จุด) และจะกำหนดเฉพาะในกรณีที่บรรทัดฐานเป็นไปตามนิพจน์กำลังสอง$$||u+v||^2+||u-v||^2=2||u||^2+2||v||^2$$ สำหรับเวกเตอร์ใด ๆ $u$ และ $v$.

ในพื้นที่ที่มีบรรทัดฐานต่างกันจะมีการหมุนน้อยลง การหมุนวงกลมหรือทรงกลมที่เป็นไปได้อาจมีจำนวน จำกัด เท่านั้น "กรวย" ในรูปแบบ 3 มิติ$(x,y,z)$ ที่กำหนดโดย $||x+y||=||z||$ ยังคงสามารถตัดกันได้โดยเครื่องบินและกลุ่มของเส้นโค้ง (nonquadratic) ที่พบ

ในมุมเรขาคณิตตามปกติมีการกำหนดดังนั้นจึงมีนิพจน์กำลังสองซึ่งจะต้องเป็นไปตามความยาว