ลด polytope ลงในน้ำ $-$ จุดยอดที่ระดับน้ำเชื่อมต่อกับจุดที่อยู่ด้านล่างหรือไม่?

Question

สมมติว่าเราใช้polyope นูน$P$ และใบหน้า $A$ ด้วยจุดยอด $a_1,\ldots, a_n$. เราถือ polytope ด้วย$A$ ล้างด้วยพื้นผิวแล้วค่อยๆลดระดับลงโดยรักษา $A$ขนานกับพื้นผิวแม้ว่า เราลดระดับต่อไปจนกว่าระดับน้ำจะถึงจุดสุดยอด$b_1$ ไม่ได้เป็นของ $A$. จากนั้นให้$b_1,\ldots, b_m$เป็นจุดยอดทั้งหมดที่ระดับน้ำ ฉันสงสัยว่า:

คือทุกๆ $b_i$ เข้าร่วมด้วยขอบบาง $a_i$เหรอ?

ดูเหมือนชัดเจนทางร่างกาย แต่ข้อเท็จจริงหลายอย่างเกี่ยวกับ polytopes เช่นความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น / คำจำกัดความของตัวถังนูนที่เทียบเท่ากัน

หากคุณพิจารณาส่วนของ polytope ระหว่างระดับน้ำและระนาบที่ทอดผ่าน $A$ คุณจะได้ polytope ที่เล็กกว่า $Q$. นี้$Q$ มีทั้งหมด $a_i,b_j$ เป็นจุดยอด แต่อาจมีจุดยอดพิเศษที่สร้างขึ้นเมื่อขอบของ $A$ผ่านน้ำ อย่างไรก็ตามจุดยอดทั้งหมดมีอยู่ในระนาบหนึ่งในสองระนาบ สิ่งนี้ชี้ให้เห็นคำถามที่ง่ายกว่าต่อไปนี้

สมมติ $P_1,P_2$ เป็นระนาบขนานสองระนาบและ $P$ คือ polytope ที่มีจุดยอดทุกจุดอยู่ในอย่างใดอย่างหนึ่ง $P_1$ หรือ $P_2$. แต่ละจุดยอดเป็น$P_1$ เชื่อมด้วยขอบถึงจุดยอดของ $P_2$เหรอ?

Answer 1

คำตอบสำหรับคำถามที่สองของคุณคือใช่ (คำตอบของคำถามแรกก็เช่นกัน)

โดยทั่วไปสำหรับทุกจุดยอดของ polytope (เต็มมิติ) $P\subset\Bbb R^d$ทิศทางของขอบที่เกิดขึ้นกับจุดยอดนั้นครอบคลุมทั้งหมด $\Bbb R^d$.

ถ้าจุดยอดเป็น $P_1$ จะมีขอบเฉพาะจุดยอดอื่น ๆ ใน $P_1$จากนั้นสแปนจะเป็นมิติ $\le \dim(P_1)= d-1$ดังนั้นไม่ใช่ทั้งหมด $\Bbb R^d$.