มีฟังก์ชัน bijective หรือไม่ $f:[0,1] \to [0,1]$ เช่นว่ากราฟของ $f$ ใน $\mathbb{R}^2$ เป็นชุดย่อยที่หนาแน่นของ $[0,1] \times [0,1]$เหรอ?
มีbijectiveฟังก์ชั่น $f:[0,1] \to [0,1]$เช่นว่ากราฟของ$f$ ใน $\mathbb{R}^2$เป็นชุดย่อยที่หนาแน่นของ$[0,1] \times [0,1]$เหรอ? (เช่นเดียวกับชื่อเรื่อง)
ฉันคิดว่าคำถามจะไม่ได้รับผลกระทบมากนักหากเราถามคำถามเดียวกัน แต่สำหรับฟังก์ชัน $f:(0,1) \to [0,1]$ หรือ $f:[0,1) \to (0,1]$ ฯลฯ ตรงข้ามกับ $f:[0,1] \to [0,1]$ซึ่งอยู่ในคำถามเดิม สิ่งที่สำคัญจริงๆก็คือโดเมนและช่วงมีขอบเขตที่เชื่อมต่อกันของ$\mathbb{R}^2$.
ฉันสงสัยว่าคำตอบของคำถามคือใช่ แต่ฉันไม่รู้วิธีสร้างฟังก์ชันดังกล่าว
สิ่งแรกที่ควรทราบก็คือหากมีฟังก์ชันดังกล่าวอยู่จะต้องไม่มีที่ต่อเนื่องไม่เช่นนั้นกราฟของ f จะไม่หนาแน่นตลอดทั้งหมด $[0,1] \times [0,1]$. อย่างไรก็ตามไม่ชัดเจนว่ากราฟของฟังก์ชันของเราจะเป็นชุดย่อยที่ตัดการเชื่อมต่อทั้งหมดหรือไม่$[0,1] \times [0,1]$.
ฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีที่ไหนสามารถเชื่อมต่อกับกราฟได้หรือไม่?
ฉันไม่ได้อ่านคำตอบของคำถามข้างต้นโดยละเอียดใด ๆ และอย่างไรก็ตามอาจไม่เกี่ยวข้องกับการตอบคำถามที่นี่ (แม้ว่าอาจจะ)
ความพยายามของฉัน:
ปล่อย $f_{ Conway_{(0,1)} }:(0,1) \to \mathbb{R} $เป็นฟังก์ชัน Conway base-13แต่โดเมนถูก จำกัด ไว้ที่$(0,1)$. ตอนนี้กำหนด$f_{Conway_{(0,1)}bounded}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan(f_{ Conway_{(0,1)} }(x)) + \frac{1}{2}$ กับโดเมน $(0,1)$ และช่วง $(0,1)$. จากนั้นฟังก์ชันจะถูกกำหนดไว้อย่างดีและกราฟของ$f_{Conway_{(0,1)}bounded}:(0,1) \to (0,1)$ เป็นชุดย่อยที่หนาแน่นของ $[0,1] \times [0,1]$. ตอนนี้เราสามารถปรับเปลี่ยนฟังก์ชันของเราได้อย่างง่ายดาย$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$ เพื่อให้มีโดเมน $[0,1]$ และช่วง $[0,1]$และฉันจะถือว่าผู้อ่านสามารถทำได้และทิ้งรายละเอียดไว้เพื่อความกระชับ แต่ประเด็นก็คือจุดสองจุดนี้ขาดหายไปในโดเมน$0$ และ $1$ไม่ใช่ปัญหา
ปัญหาคือหน้าที่ของเราไม่ได้ฉีด
โปรดทราบว่าเราไม่สามารถตอบคำถามได้โดยการลบจุดออกจากกราฟของ $f_{Conway_{(0,1)}bounded}$จากนั้นคุณจะลบคะแนนจำนวนมากออกจากโดเมนดังนั้นนี่จะไม่ใช่ฟังก์ชันกับโดเมน $(0,1)$. ดังนั้นอาจจะทำอะไรที่ฉลาดไป$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$หรืออาจคิดวิธีที่แตกต่างออกไปอย่างสิ้นเชิงในการสร้างฟังก์ชันเพื่อตอบคำถามก็เป็นสิ่งที่จำเป็น
คำตอบ
เพื่อความเรียบง่ายฉันจะดำเนินการ $[0,1]\times [0,1].$ คำว่า "นับได้" ด้านล่างจะหมายถึง "นับได้ไม่สิ้นสุด"
Lemma: มีคอลเลกชันที่ไม่ปะติดปะต่อกัน $\{D_n:n\in \mathbb N\}$ ของชุดย่อยของ $(0,1)$ เช่นนั้นแต่ละ $D_n$ สามารถนับได้และหนาแน่นใน $(0,1).$
หลักฐาน: ให้ $p_1,p_2,\dots$เป็นจำนวนเฉพาะ แต่ละ$n,$ กำหนด $D_n$ เป็นเซตของอัตราส่วน $j/p_n^k,$ ที่ไหน $k\in \mathbb N,$ $1\le j < p_n^k,$ และ $j,p_n$ค่อนข้างสำคัญ ฉันจะหยุดที่นี่ แต่ถามคำถามถ้าคุณต้องการ
ตอนนี้กำหนดคอลเลกชันที่จัดทำดัชนีเป็นสองเท่าของช่วงเวลาที่เปิดอยู่ $$I_{mk}=(\frac{k-1}{m},\frac{k}{m}),$$ ที่ไหน $m\in \mathbb N, 1\le k\le m.$ เราสามารถเรียงลำดับช่วงเวลาเหล่านี้เป็นเชิงเส้นได้ $I_{11}, I_{21},I_{22},I_{31}, I_{32},I_{33},\dots$ ในคำสั่งนี้ขอเพียงแค่ระบุช่วงเวลาเป็น $J_1,J_2,\dots.$
แต่ละ $n,$ ชุด $D_n\cap J_n$ เป็นชุดย่อยที่หนาแน่นนับได้ของ $J_n.$ สังเกตว่าคอลเลกชัน $\{D_n\cap J_n)\}$ เป็นคู่ที่ไม่ปะติดปะต่อกัน
ตอนนี้สำหรับ $n=1,\dots,$ กำหนด $f:[0,1]\to [0,1]$ โดยการกำหนด $f:J_n\cap D_n \to D_n$เป็นอคติที่คุณชอบ เพื่อให้ได้ข้อมูลเชิงลึกอย่างสมบูรณ์โปรดทราบว่า$[0,1]\setminus (\cup J_n\cap D_n)$ คือ $[0,1]$ลบชุดที่นับได้ ก็คือ$[0,1]\setminus (\cup D_n).$ ชุดเหล่านี้จึงมีความสำคัญของ $[0,1],$ดังนั้นจึงมีอคติระหว่างพวกเขา ปล่อย$f$เป็นอคติระหว่างชุดเหล่านี้ ตอนนี้$f$ เป็น bijection แบบเต็มจาก $[0,1]$ ถึง $[0,1].$
เพื่อแสดงความหนาแน่นให้ $(a,b)\times (c,d)\subset (0,1)\times (0,1).$ แล้วสำหรับบางคนที่มีขนาดใหญ่ $n$ (แก้ไขแล้ว) $J_n\cap D_n\subset (a,b).$ และตั้งแต่นั้นมา $f(J_n\cap D_n)=D_n,$ ชุดย่อยที่หนาแน่นของ $(0,1),$ มีอยู่ $x\in J_n\cap D_n$ ดังนั้น $f(x)\in (c,d).$ ด้วยประการฉะนี้ $(x,f(x))\in (a,b)\times (c,d).$ นี่แสดงกราฟของ $f$ มีความหนาแน่นใน $[0,1]\times [0,1].$
ใช่สิ่งที่คุณทำได้คือสร้างฟังก์ชันฉีด $f:\mathbb Q \cap [0,1] \rightarrow \mathbb [0,1]$ ซึ่งกราฟมีความหนาแน่น $[0,1] \times [0,1]$ แล้วขยายโดเมนของ $f$ ถึง $\mathbb [0,1]$ ในลักษณะที่ทำให้ $f$ bijection (สิ่งนี้ทำได้เนื่องจากมี $|\mathbb R | $ ชี้เข้า $[0,1]$ ไม่ได้อยู่ในภาพของ $f$).
ตัวอย่างเช่นเปิด $\mathbb Q \cap [0,1]$ คุณสามารถปล่อยให้ $$f \left ( \frac{a}{b} \right ) = \frac{\pi a^2}{b} \mod 1$$
ให้ S (x, n) = (2x + 1) / (2 ^ (2n + 1))
ให้ R (x, n) เป็นพื้น (x / (2 ^ n)) + (2 ^ n) (x mod 2 ^ n) (อย่างไม่เป็นทางการสลับสองครึ่งของการขยายไบนารีของ x)
ให้ f (b) = S (R (x, n), n) ถ้ามี x, n (ซึ่งค่อนข้างไม่สำคัญต้องไม่ซ้ำกัน) เช่นให้ S (x, n) = b และเป็นอย่างอื่น
พิจารณา "เซลล์ตารางไบนารี", [a * 2 ^ -n, (a + 1) * 2 ^ -n] x [b * 2 ^ -n, (b + 1) * 2 ^ -n] (S (a * 2 ^ n + b, n), f (S (a * 2 ^ n + b, n)) = S (b * 2 ^ n + a, n)) อยู่ในเซลล์ตารางนี้