มีปัญหากับ $I(\alpha) = \int_0^{\infty} \frac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$

Question

ในที่สุดฉันก็พยายามแก้ไข $$I(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$$

โดยใช้ความแตกต่างภายใต้อินทิกรัล ฉันรู้ว่าสิ่งนี้ทำได้ง่ายที่สุดโดยใช้เศษเหลือ แต่ฉันตั้งใจให้โจทย์นี้แนะนำแคลคูลัส 2 / สมการเชิงอนุพันธ์ขั้นสูงให้นักเรียนรู้จักเทคนิคที่น่าสนใจก่อนที่จะทำการวิเคราะห์จริง

การสร้างความแตกต่างภายใต้อินทิกรัลครั้งแรกจะนำไปสู่

$$I'(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{-x \sin (\alpha x)}{x^2 + 1} dx = - \dfrac{\pi}{2} + \int_0^{\infty} \dfrac{\sin (\alpha x)}{x(x^2 + 1)}dx$$

โดยใช้ประโยชน์จากอินทิกรัล Dirichlet และอีกครั้งเพื่อ

$$I''(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} = I(\alpha)$$

ในการแก้ ODE ลำดับที่สองนี้เราจะต้องมีเงื่อนไขเริ่มต้นสองข้อ อินทิกรัลสำหรับ$I'(\alpha)$ นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง $I'(0) = 0$ แต่เวอร์ชันที่เขียนใหม่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ถูกต้องของ $I'(0) = -\dfrac{\pi}{2}$. ฉันมีปัญหาในการแก้ปัญหานี้

ขอความช่วยเหลือหรือคำแนะนำใด ๆ ฉันจะหาข้อโต้แย้งที่ง่ายกว่าว่าทำไม$I'(0) \neq 0$.

Answer 1

คุณกำลังสมมติว่า $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx= \frac{\pi}{2} $$ แต่ถ้า $\alpha=0$แล้ว $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx=0 $$ ดังนั้นความเท่าเทียมกัน $$ \int_{0}^{\infty}\frac{−x\sin(αx)}{x^2+1}dx=-\frac{π}{2}+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(αx)}{x(x^2+1)}dx $$ เป็นจริง iff $\alpha>0$.