$N(\frac{1}{2},2)=3$ สำหรับเวกเตอร์ในพื้นที่ฮิลเบิร์ต

Question

เจอคำถามนี้เกี่ยวกับจำนวนเวกเตอร์มุมฉากเกือบสูงสุดที่เราสามารถฝังในช่องว่างของฮิลเบิร์ตได้ พวกเขาระบุว่า$N(\frac{1}{2},2)=3$และการสร้างเวกเตอร์ที่ชัดเจนโดยใช้ Bloch sphere แสดงให้เห็นสิ่งนี้ อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าฉันไม่สามารถเข้าใจความหมายของสิ่งนี้ได้ ตัวอย่างเพิ่มเติมของ$N(\frac{1}{\sqrt{2}},2)=6$มันสมเหตุสมผลสำหรับฉันเนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นเพียงตัวดำเนินการเฉพาะของตัวดำเนินการ pauli แต่จะแสดงได้อย่างไรว่าจำนวนเวกเตอร์ที่ตรงตามเกณฑ์ต่อไปนี้มีเพียง 3

$$\langle V_i|V_i\rangle = 1$$

$$|\langle V_i|V_j\rangle| \leq \epsilon, i \neq j$$

Answer 1

นี่เป็นวิธีที่มองเห็นได้ชัดเจนในการคิดเกี่ยวกับสิ่งนี้ (ฉันไม่อ้างว่าเป็นหลักฐานที่เข้มงวด) ปล่อย$$ |V_1\rangle=|0\rangle,|V_2\rangle=\frac12|0\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle,|V_3\rangle=\frac12|0\rangle-\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle. $$แต่ละอันมีการทับซ้อนกัน 1/2 ตอนนี้วาดสิ่งเหล่านี้บนทรงกลม Bloch พวกมันคือเวกเตอร์สามตัวที่เว้นระยะเท่า ๆ กันรอบวงกลมใหญ่ คุณไม่สามารถผลักคนอื่นเข้าใกล้อีกคนได้เพราะจะเพิ่มการทับซ้อนกัน

ตอนนี้ฉันสามารถเพิ่มเวกเตอร์ที่สี่ได้หรือไม่? ไม่ว่าฉันจะเพิ่มเวกเตอร์อะไรเข้าไปในทรงกลมมันจะต้องทำมุม$\pi/2$ หรือน้อยกว่าด้วยเวกเตอร์ที่มีอยู่ตัวใดตัวหนึ่งจึงจะทับซ้อนกัน $1/\sqrt{2}$หรือมากกว่า ดังนั้นอย่างน้อยสำหรับตัวเลือกของเวกเตอร์สามตัวนี้ฉันไม่สามารถเพิ่มหนึ่งในสี่และรักษาค่าของ$\epsilon$.

เมื่อนึกถึงภาพนี้คุณอาจจะสามารถโน้มน้าวตัวเองได้ว่าต้องเลือกเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยวิธีนี้$|V_1\rangle$ตามอำเภอใจฉันสามารถปรับทิศทางมุมมองให้อยู่ที่ด้านบนสุดของทรงกลม สำหรับ$|V_2\rangle$ ฉันมีอิสระในการหมุนเวียนโดยพลการเกี่ยวกับไฟล์ $V_1\rangle$แกนผมก็เลยเลือกองค์ประกอบมุมฉากให้เป็นจริงและบวก ณ จุดนั้นฉันเลือก$|V_3\rangle$ ได้รับการแก้ไข - มีทางเลือกเดียวที่เป็นไปได้ที่อาจมีการทับซ้อนที่ถูกต้อง

หากเวอร์ชันวิชวลไม่ได้ทำเพื่อคุณฉันแน่ใจว่าจะมีคนกำหนดสิ่งนี้อย่างเป็นทางการทางคณิตศาสตร์ ...