เงื่อนไขที่จำเป็น (และเพียงพอ) เพื่อให้ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ต่อไปนี้เป็นผลบวกสมมาตรแน่นอน?

Aug 16 2020

แก้ไขบางส่วน $n\times n$ เมทริกซ์แน่นอนบวกแน่นอนสมมาตร $A$. พิจารณาผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ต่อไปนี้

$$B = AC$$

ที่ไหน $C$ เป็นไปโดยพลการ $n\times n$เมทริกซ์ ให้$A$ฉันต้องการทราบว่ามีเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเมทริกซ์ตารางทั้งหมดหรือไม่ $C$ ดังนั้นเมทริกซ์ผลลัพธ์ $B$ยังสมมาตรบวกแน่นอน? ฉันสนใจที่จะรู้เงื่อนไขที่จำเป็น (ถ้าเป็นไปได้) มากกว่า

แก้ไข:

ฉันเกี่ยวข้องกับเมทริกซ์จริงเท่านั้น

คำตอบ

2 ChrisRamsey Aug 16 2020 at 08:22

ถ้า $C$ คือเมทริกซ์จริงแน่นอนเชิงบวกที่เชื่อมต่อกับ $A$ แล้ว $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$ซึ่งเป็นบวกแน่นอน นี่เป็นเงื่อนไขที่เพียงพออย่างแน่นอน

อย่างไรก็ตามมันห่างไกลจากความจำเป็น ลองพิจารณาดู$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$

ฉันไม่มั่นใจว่าจะมีสภาพที่ดีที่อธิบายถึงสิ่งนั้นได้อย่างสมบูรณ์ $C$.

เงื่อนไขที่จำเป็นประการหนึ่งก็คือ $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ ถ้านอกจากนี้ $C$ สมมาตรจากนั้นจึงเปลี่ยนเป็น $A$ แล้ว $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ ซึ่งหมายความว่า $C$ เป็นบวกแน่นอนตั้งแต่ $A^{-1}$ เป็นบวกเช่นกัน

แทบจะไม่เป็นคำตอบที่สมบูรณ์ แต่นั่นคือทั้งหมดที่ฉันมีในตอนนี้