ปัญหาเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบ $x^4-x^3+x^2-x+1$
ฉันต้องการคำนวณอินทิกรัลต่อไปนี้โดยใช้เศษส่วนบางส่วน: $$\int{1\over x^5+1}dx$$ดังนั้นฉันจึงสลายตัวส่วน:
$$x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$$
สำหรับขั้นตอนต่อไปฉันค้นหาบนอินเทอร์เน็ตและพบว่าฉันควรย่อยสลาย$x^4-x^3+x^2-x+1$ แบบนี้:
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$$
แล้ว $a,b$ สามารถหาได้ง่าย
คำถามของฉันคือทำไมค่าสัมประสิทธิ์ของ $x^2,x^0$ คือ $1$เหรอ?
เพราะฉันเขียนใหม่ได้:
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$$
และสิ่งเดียวที่ฉันเห็นในรูปลักษณ์แรกคือ $ad=1,cf=1$ และฉันไม่รู้ว่าทำไม $a=d=c=f=1$
คุณสามารถดูคำตอบของเขาด้านล่าง:
คำตอบ
โดยทั่วไปแล้วพหุนามทั้งสองจะได้รับจากการคูณค่าคงที่ (คุณสามารถคูณหนึ่งด้วย $k$ และอื่น ๆ โดย $1/k$) เพื่อให้คุณสามารถจัดเรียงในลักษณะที่ $a=d=1$รับประกัน ตัวอย่างเช่น$x^2+4x+4$ สามารถแยกตัวประกอบเป็น $(x+2)(x+2)$ แต่ยังเป็น $(2x+4)(\frac{1}{2}x+1)$. ดังนั้นเราจึงมีอิสระที่จะแก้ไขค่าสัมประสิทธิ์อย่างใดอย่างหนึ่งเพื่อให้คำตอบไม่ซ้ำกัน อย่างไรก็ตามหากคุณทำเช่นนี้แสดงว่าคุณไม่มีทางเลือกให้คนอื่นดังนั้นการเริ่มต้นที่ถูกต้องในที่นี้ก็เป็นดังนี้ $$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2−ax+b)(x^2−cx+d).$$
แน่ใจว่าคุณสามารถคำนวณเพิ่มเติมเพื่อรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์คงที่ได้ แต่ไม่ใช่ก่อนหน้านั้น
นอกจากนี้ตามตัวอย่างที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อยแสดงให้เห็นว่าสมมติว่าสัมประสิทธิ์ทั้งชั้นนำและค่าคงที่เป็น $1$ ตั้งแต่เริ่มต้นผิด:
$$ x^4-x^3+x^2+x+1=\\(x^2+0.86676039+0.46431261)(x^2-1.86676039x+2.15372137) $$
อย่างไรก็ตามตามที่ระบุไว้ในคำถามอื่นที่เชื่อมโยงในกรณีนี้อาจใช้ (แต่ไม่ได้อธิบาย) ว่าพหุนามคือ palindromic (ซึ่งกันและกัน) ซึ่งแสดงถึงรากของมันมาเป็นคู่ $\alpha, \frac{1}{\alpha}$ (เป็นผลมาจาก $x^4f(1/x)=f(x)$). สิ่งนี้ช่วยให้คุณคาดหวังปัจจัยในรูปแบบ$$(x-\alpha)(x-\frac{1}{\alpha})=x^2-(\alpha+\frac{1}{\alpha})x+1,$$ หรือทั่วไปมากขึ้น $x^2-ax+1$.
สมมติว่าคุณมี monic (เช่นสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1) พหุนามดีกรี 4 $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$ ที่คุณแยกตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีที่ 2 สองตัว:
$(ex^2 + fx + g) \times (hx^2 + ix + j).$
จากนั้นคุณสามารถหารค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามตัวแรกด้วย $e$ และคูณค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามตัวที่สองด้วย $e$. สิ่งนี้ก่อให้เกิด: $(x^2 + [f/e]x + [g/e]) \times ([he]x^2 + [ie]x + [je]).$
อย่างไรก็ตามเนื่องจากผลคูณของพหุนามทั้งสองนี้คือ
$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$,
แล้ว$h \times e$ ต้อง = 1. $
ดังนั้นพหุนามโมโนนิกระดับที่ 4 จึงถูกแยกออกเป็นพหุนามเชิงเดี่ยวระดับที่ 2 ตามที่คนอื่น ๆ ได้ชี้ให้เห็นภายใต้การแยกตัวประกอบนี้เพียงเพราะค่าสัมประสิทธิ์$ x ^ 0 $ในพหุนามดีกรีที่ 4 เป็น 1 ไม่ได้หมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์$ x ^ 0 $ในพหุนามระดับที่ 2 สองค่าจะต้องเป็นหนึ่ง สิ่งที่คุณสามารถพูดได้อย่างแน่นอนก็คือผลคูณของค่าสัมประสิทธิ์$ x ^ 0 $สองค่าในพหุนามดีกรีที่ 2 สองค่าต้อง = 1
ถ้าผมเข้าใจอย่างถูกต้องก็เกิดขึ้นเพียงเพื่อที่ว่าเมื่อ monic พหุนามการศึกษาระดับปริญญาที่ 4 ที่ได้รับในการสอบถามเดิมเป็นปัจจัยหนึ่งในสองค่าสัมประสิทธิ์การศึกษาระดับปริญญา monic 2 สำหรับค่าสัมประสิทธิ์การศึกษาระดับปริญญาที่ 4 โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกิด monic พหุนามการศึกษาระดับปริญญาที่ 2 เกิดขึ้นจะมีของพวกเขา$ x ^ 0 $สัมประสิทธิ์แต่ละ = 1
ภาคผนวกมุ่งเน้นไปที่พหุนามดีกรี 4 ดั้งเดิมของ OP
ก่อนอื่นให้พิจารณาพหุนามดีกรีที่ 4 ที่เท่ากับ
$ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) $
นี่คือตัวอย่างการโต้แย้งอย่างง่ายซึ่งผลิตภัณฑ์จะมีรูปแบบ
$ x ^ 4 + ขวาน ^ 3 + bx ^ 2 + cx + 1. $
แก้ไข ดีนี่คือการทำให้อับอาย:
ฉันเพิ่งตระหนักว่าฉันเคาน์เตอร์ตัวอย่างข้างต้นเป็นข้อบกพร่อง นั่นคือเมื่อ $ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) $รวมกันเป็นพหุนามระดับ 4 monic อาจมีทางเลือกอื่นในการแยกตัวประกอบดีกรีที่ 4 นี้ได้ พหุนามที่เข้ากับรูปแบบที่แนะนำไว้ใน OP
อย่างไรก็ตามส่วนที่เหลือของภาคผนวกนี้จะดูข้อ จำกัด ในลักษณะที่คล้ายกับ https://math.stackexchange.com/questions/3792716/what-is-the-meaning-of-symmetry-of-the-coefficients ลิงก์ที่มีคนแสดงความคิดเห็นแล้ว
การวิเคราะห์ทั้งหมดนี้ทำให้เกิดคำถามว่าเหตุใดจึงมีข้อเสนอแนะให้แยกตัวประกอบ
$ f (x) = x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + 1 $เป็น
$ (x ^ 2 - ax + 1) \ ครั้ง (x ^ 2 - bx + 1). $
ฉันคาดเดาว่าสิ่งที่เกิดขึ้นจริง ๆ คือมีการ คาดเดาว่า$ f (x) $สามารถหาสาเหตุได้
ดังนั้นนักเรียนจะถูกขอให้สำรวจการคาดเดาและดูว่าเป็นความจริงหรือไม่ การสำรวจนำไปสู่ข้อ จำกัด ต่อไปนี้ใน $ a $และ$ b $ :
(1) re $ x ^ 3: a + b = 1. $
(2) re $ x ^ 2: 2 + (a \ times b) = 1. $
(3) re $ x ^ 1: a + b = 1. $
สังเกตว่าคุณมีข้อ จำกัดสามประการในตัวแปรสองตัว $ a $และ$ b. $
อย่างไรก็ตามเนื่องจากข้อ จำกัด (1) และ (3) เกิดขึ้นเหมือนกันคุณจึงมีข้อ จำกัด เพียงสองข้อ
แม้ว่าข้อ จำกัด ทั้งสอง (1) และ (2) จะเป็นแบบเส้นตรง แต่ก็ยังไม่ (โดยทั่วไป) รับประกันวิธีแก้ปัญหา [เช่น r + s = 6. 2r + 2s = 11]
ในกรณีปัจจุบันข้อ จำกัด (2) ไม่เป็นเชิงเส้นซึ่งจะทำให้มีความไม่แน่นอนมากยิ่งขึ้น หมายเหตุ: ฉันอยู่บนน้ำแข็งบาง ๆ ที่นี่ฉันไม่เคยศึกษาผลของการรวมข้อ จำกัด เชิงเส้น 1 ข้อกับข้อ จำกัด ที่ไม่ใช่เชิงเส้น 1 ข้อ
อย่างไรก็ตาม , การสำรวจตามที่ตั้งใจไว้อย่างน่าพอใจค่าของ $ a $และ$ B $สามารถพบได้ ลองดูที่$ f (x) $สังเกตว่าข้อ จำกัด (3) เหมือนกันกับข้อ จำกัด (1) อย่างแม่นยำเนื่องจากใน $ f (x) $ค่า$ x ^ 3 $และ$ x ^ 1 $จะเหมือนกัน
ดังนั้นจึงอาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าการคาดเดาที่แนะนำนั้น มีแรงจูงใจที่ดี