พารามิเตอร์ของการแจกแจงเบต้า

Question

ฉันพบคำถามเกี่ยวกับพารามิเตอร์เชิงลบของการแจกแจงเบต้าที่นี่ ด้านล่างนี้คือลิงก์สำหรับคำถามนั้น: พารามิเตอร์เชิงลบของการแจกแจงเบต้า

มีความคิดเห็นที่ $A$ พารามิเตอร์ = $\frac{m(m−2m^2+m^3−v+mv)}{(m−1)v}$ , และ $B$ พารามิเตอร์ = $\frac{m−2m^2+m^3−v+mv}{v}$

ฉันสามารถถามว่าจะมาถึงสมการนี้ได้อย่างไรหรืออย่างน้อยก็อ้างอิงถึงสมการนี้ได้หรือไม่? ฉันพยายามอธิบายพารามิเตอร์ a และ b ที่พบใน Wikipedia แต่ได้รับคำตอบที่แตกต่างกันเล็กน้อยเมื่อเทียบกับความคิดเห็นดังกล่าว (พารามิเตอร์ใน Wikipedia ควรคูณเป็น -1 เพื่อให้ได้คำตอบเดียวกัน)

ขอบคุณมากสำหรับความช่วยเหลือของคุณ.

Answer 1

นี่อาจเป็นการโกง แต่คุณสามารถให้Wolfram Alpha แก้สมการให้คุณได้

ตาม Wolfram Alpha คำตอบที่ไม่สำคัญคือ \begin{align*} \alpha &= \frac{m}{v}\big(-m^2 + m - v\big) \\ \beta &=\frac{1}{v}\big(m^3 - 2 m^2 + mv + m - v\big) \end{align*} สมมติ $m \neq 0$, $v \neq 0$ และ $m^3 - 2m^2 + m v + m - v\neq0$.

นี่คือสิ่งที่สมการสร้างขึ้นบนเส้นกริดที่อยู่ห่างไกลออกไป $[0,1]^2$ สำหรับ $(m,v)$:

สมการสำหรับความแปรปรวนสามารถเขียนได้กระชับขึ้นเป็น $$ \beta = \frac{(1-m)[m(1-m)-v]}{v} = \frac{(1-m)}{m}\alpha. $$

---

เราถามว่าชุดอะไรได้บ้าง $(m,v) \in [0,1]^2$นำไปสู่พารามิเตอร์ที่ถูกต้องสำหรับการแจกแจงเบต้า สำหรับสิ่งนี้เราจำเป็นต้องมี$\alpha$ และ $\beta > 0$. เงื่อนไขทั้งสองนี้เป็นที่พึงพอใจในกรณีที่\begin{align*} v < m(1-m) \end{align*} แสดงว่านี่เป็นเงื่อนไขเดียวที่จำเป็นนอกจากนี้ $m \in (0,1)$.