พิสูจน์ $(V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}$ ถ้า $f$ ไม่เสื่อมสภาพ
ปล่อย $f(\alpha, \beta)$ เป็นรูปแบบทวิภาคีบน $n$- พื้นที่เชิงเส้นมิติ $V$ เหนือฟิลด์ตัวเลข $F$. พิสูจน์ถ้า$f(\alpha, \beta)$ ไม่เสื่อมสภาพสำหรับพื้นที่ย่อยใด ๆ $V_1$ และ $V_2$ ของ $V$แล้ว \begin{align*} & (V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}, \\ & (V_1 \cap V_2)^{\perp_R} = V_1^{\perp_R} + V_2^{\perp_R}. \end{align*} ที่สำหรับพื้นที่ย่อยใด ๆ $W$ ของ $V$ที่orthogonal กลุ่มที่เหลือ $W^{\perp_L}$และกลุ่มมุมฉากด้านขวา $W^{\perp_R}$ ถูกกำหนดโดย \begin{align*} & W^{\perp_L} = \{\alpha \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \beta \in W\}, \\ & W^{\perp_R} = \{\beta \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \alpha \in W\}. \end{align*}
ตามความหมายฉันสามารถแสดง (ในทิศทางนี้ไม่ใช่ความเสื่อมของ $f$ ไม่จำเป็น) ที่ $V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L} \subseteq (V_1 \cap V_2)^{\perp_L}$. ฉันไม่มีความคิดเกี่ยวกับทิศทางอื่น ๆ มากนักโดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีการไม่เสื่อมถอยของ$f$ ควรนำไปใช้?
คำตอบ
$\newcommand{\lbot}{\perp_L}$ $\newcommand{\rbot}{\perp_R}$
ก่อนอื่นเราพิสูจน์ด้วยคำจำกัดความว่า \begin{align*} & (V_1 + V_2)^{\lbot} = V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}; \tag{1} \\ & (V_1 + V_2)^{\rbot} = V_1^{\rbot} \cap V_2^{\rbot}. \tag{2} \end{align*} ปล่อย $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$แล้วสำหรับใด ๆ $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, เรามี \begin{align*} & f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0, \\ & f(\alpha, \beta_1 - \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) - f(\alpha, \beta_2) = 0. \end{align*}
ดังนั้น $f(\alpha, \beta_1) = f(\alpha, \beta_2) = 0$กล่าวคือ $\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$. ในทางกลับกันถ้า$\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$แล้วสำหรับใด ๆ $\beta = \beta_1 + \beta_2 \in V_1 + V_2$, ที่ไหน $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, เรามี $$f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0 + 0 = 0,$$ กล่าวคือ $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$. ความเท่าเทียมกันที่สองสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน
ถ้า $f(\alpha, \beta)$ ไม่เสื่อมโทรมเราแสดงให้เห็นว่าสำหรับพื้นที่ย่อยใด ๆ $W$ ของ $V$, $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. ตามความหมาย$W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$. เพื่อแสดงทิศทางอื่น ๆ สามารถแสดงโดย$f$ ไม่ใช่การเสื่อมสภาพของพื้นที่ย่อยใด ๆ $W$, $$\dim(W^{\lbot}) = \dim(W^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W).$$
ก็เป็นไปตามนั้น \begin{align*} \dim((W^{\lbot})^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W^{\lbot}) = \dim(V) - (\dim(V) - \dim(W)) = \dim(W). \tag{*} \end{align*} ความเท่าเทียมกันนี้และ $W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$ บอกเป็นนัยว่า $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. ในทำนองเดียวกัน$W = (W^{\rbot})^{\lbot}$.
ตอนนี้โดย $(1)$ และ $(2)$, เรามี \begin{align*} (V_1 \cap V_2)^{\lbot} = ((V_1^{\lbot})^{\rbot} \cap (V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = ((V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot}. \end{align*} การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์
(ความเสมอภาค $(*)$ สามารถกำหนดได้โดยการสร้างแผนที่ระหว่าง $W^{\lbot}$ ไปยังช่องว่างของโซลูชันแรก $\dim(W)$ คอลัมน์ของเมทริกซ์ $(f(\alpha_i, \alpha_j))$.)