พิสูจน์ว่า $x^2$ ไม่ต่อเนื่องสม่ำเสมอ
เรารู้ว่า $f(x)=x^2$ ไม่ต่อเนื่องสม่ำเสมอตามฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$. อันที่จริงให้$\epsilon=1$. สำหรับใด ๆ$\delta>0$เราอาจเลือก $\alpha>0$ ใหญ่พอที่จะ $\alpha\delta+\delta^2/4\geq \epsilon$. แล้วถ้าเราตั้ง$$x=\alpha$$ $$y=\alpha+\frac{\delta}{2}$$ เราพบ $|x-y|<\delta$ยัง $|f(x)-f(y)|\geq\epsilon$. ดังนั้น$\epsilon-\delta$ คำจำกัดความของความต่อเนื่องสม่ำเสมอจะถูกลบล้างและนั่น $f$ ไม่ต่อเนื่องสม่ำเสมอ
ตอนนี้ถ้า $X\subset\mathbb{R}$ เป็นชุดที่ไม่ถูกผูกไว้ที่เปิดเราจะพิสูจน์ได้อย่างไร $f:X\rightarrow [0,\infty)$ไม่ต่อเนื่องสม่ำเสมอ? ฉันลองทำตามขั้นตอนที่คล้ายกันข้างต้นแล้ว แต่ก็ไม่ได้ผล ความยากลำบากที่ฉันพบคือฉันไม่สามารถแน่ใจได้ว่า$y=\alpha+\delta/2\in X$, เพราะ $X$ อาจเป็นชุดที่ไม่ถูกผูกไว้โดยมีช่วงเวลาเปิดที่แคบกว่าเช่น $x$ เพิ่มขึ้นเช่น $$X=\bigcup_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n},\sqrt{n}+\frac{1}{n}).$$
จากข้างต้นมีวิธีแก้ไขหลักฐานข้างต้นสำหรับไฟล์ $f:X\rightarrow [0,\infty)$กรณี? ฉันไม่ได้สนใจเพียงแค่ได้รับการพิสูจน์ แต่ฉันต้องการทราบว่าหลักฐานของฉันจะแก้ไขได้อย่างไรหรือไม่สามารถแก้ไขได้ในกรณีนี้
คำตอบ
มันไม่เป็นความจริง พิจารณา$X = \bigcup_n (n,n+\tfrac1{n^2})$. สังเกตว่า$x,y \in (n,n+\tfrac1{n^2})$แล้ว $$ |f(x) - f(y)| \le |f(n+\tfrac1{n^2}) - f(n)| = \tfrac2n + \tfrac1{n^2} \le \tfrac3n .$$ ให้ $\epsilon > 0$เลือก $N > \frac3\epsilon$. ถ้า$x,y \in \bigcup_{n\ge N} (n,\frac1{n^2})$และ $|x-y| < \tfrac12$แล้ว $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. และตั้งแต่นั้นมา$f(x)$ ต่อเนื่องสม่ำเสมอ $[0,N+1]$เราสามารถค้นหา $\delta > 0$ และ $\delta < \tfrac12$ เช่นนั้นถ้า $x,y \in [0,N+1]$แล้ว $|x-y| < \delta$ หมายถึง $|f(x) - f(y) < \epsilon$.