ผกผันขวาและถ้าเข้า
ฉันกำลังพยายามพิสูจน์ผลลัพธ์ต่อไปนี้
พิสูจน์ว่า $f: X \to Y$จะเข้าสู่ถ้าและเฉพาะในกรณีที่มีการผกผันที่เหมาะสม จากนั้นพิสูจน์ว่าการผกผันนี้ไม่จำเป็นต้องไม่ซ้ำกัน (เช่นเมื่อ$f$ ไม่ได้ฉีด)
นี่คือสิ่งที่ฉันคิดขึ้นมาโดยเฉพาะอย่างยิ่ง "การพิสูจน์" ของการขาดเอกลักษณ์ของฉันไม่ได้เข้มงวดมากนัก
หลักฐาน. สมมติ$f: X \to Y$เป็นการคาดเดา ปล่อย$y \in Y$ดังนั้นจึงมีอยู่ $x \in X$ ดังนั้น $f(x) = y$. แม้ว่าสิ่งนี้$x$ อาจไม่ซ้ำกันเรากำหนดการทำแผนที่ $g: Y \to X$ ตามกฎ $g(y) = x$โดยใช้ Axiom of Choice ใด ๆ เช่น$y$ ด้วยคุณสมบัติที่ $g(y) = x$, เรามี: $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ ดังนั้น $f \circ g = i_Y$และ $g$เป็นค่าผกผันที่ถูกต้อง ในทางกลับกันสมมติว่า$f$ มีสิทธิผกผัน $g: Y \to X$ ด้วยคุณสมบัติที่ $f \circ g = i_Y$. ปล่อย$y \in Y$. แล้ว$g(y) = x$ สำหรับบางคน $x \in X$. จากนั้นเราสังเกตว่า$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ ดังนั้น $f$เป็นการคาดเดา การผกผันที่ถูกต้องนี้ไม่ซ้ำกันเพราะเราจำเป็นต้องเรียก Axiom of Choice เพื่อกำหนด$g(y) = x$ สำหรับบางคน $x$. ในกรณีที่$f$ ไม่ได้ฉีดให้ใด ๆ $y \in Y $อาจมีมากมายไม่สิ้นสุด $x$ ดังนั้น $f(x) = y$และเราสามารถกำหนดได้ $g(y)$ เพื่อให้เท่ากับ x ตัวใดตัวหนึ่งซึ่งแต่ละตัวจะให้ค่าผกผันขวาที่ถูกต้องเท่ากัน
หลักฐานนี้มีลักษณะอย่างไร? นี่เป็นการเลือกใช้ที่เหมาะสมหรือไม่? มีวิธีใดที่จะทำให้การพิสูจน์การขาดเอกลักษณ์มีความเข้มงวดมากขึ้น?
ขอบคุณล่วงหน้า.
คำตอบ
ถ้าหลักฐานของคุณดูดีสำหรับฉัน อย่างไรก็ตามการพิสูจน์ความไม่เป็นเอกลักษณ์ของคุณนั้นค่อนข้างบอบบาง
เพื่อพิสูจน์ความไม่เป็นเอกลักษณ์นั้นเพียงพอ (และง่ายกว่าเกือบตลอดเวลา) ที่จะแสดงด้วยตัวอย่าง คุณสามารถปรุงตัวอย่างใดก็ได้ แต่นี่คือตัวอย่างแรกที่เข้ามาในหัวของฉัน
สมมติว่า $X=\mathbb{R}^2$ และ $Y=\mathbb{R}$ ด้วย $f:X\to Y$ การเป็น $f(x,y)=x$. เห็นได้ชัดว่ามีการใช้งานฟังก์ชันนี้ ตอนนี้กำหนดแผนที่ต่อไปนี้$S_1:Y\to X$ โดย $S_1(x)=(x,0)$. ไม่ควรใช้เวลามากในการโน้มน้าวใจคุณ$f(S_1(x))=i_Y$.
นอกจากนี้แผนที่ $S_2:Y\to X$ ที่กำหนดโดย $S_2(x)=(x,x)$ ยังจะให้ $S_2(f(x))=i_Y$. แต่$S_1\neq S_2$ ดังนั้นเราจึงได้แสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์ที่ต้องการซึ่งไม่เหมือนกัน