ผลิตภัณฑ์บังคับของระบบสมมาตร
ให้ครอบครัวของการบังคับใช้แนวคิด $(P_i)_{i\in I}$ เราสามารถนำผลิตภัณฑ์ $P:=\prod_{i\in I}P_i$ เป็นแนวคิดบังคับให้สร้างตัวกรองทั่วไปของแบบฟอร์ม $G=(G_i)_{i\in I}$ เช่นนั้นสำหรับแต่ละคน $i\in I$ การฉายภาพ $G_i$ สอดคล้องกับตัวกรองทั่วไปที่สร้างขึ้นเมื่อบังคับด้วย $P_i$. สิ่งนี้เรียกว่าผลิตภัณฑ์บังคับและช่วยให้เราสามารถเชื่อมต่อกับวัตถุทั่วไปหลายประเภทพร้อมกันได้ (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อนี้โปรดดูการบังคับใช้ผลิตภัณฑ์และวัตถุทั่วไป )
ตอนนี้คำถามของฉันคือถ้าและวิธีการบังคับผลิตภัณฑ์สามารถรวมกับการบังคับสมมาตร สมมติว่าเรามีครอบครัวของการบังคับใช้แนวคิดดังกล่าวข้างต้นและครอบครัวของกลุ่ม$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ เช่นเดียวกับ $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ ดังนั้น $\mathcal{G}_i$ เป็นกลุ่มย่อยของ $Aut(P_i)$ และ $\mathcal{F}_i$ เป็นการเปิดตัวกรองปกติ $\mathcal{G}_i$ เพื่อทุกสิ่ง $i\in I$. เราสามารถกำหนด$P$ ข้างต้นด้วย $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ ทำหน้าที่ $P$ componentwise และ $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ เป็นตัวกรองปกติ $\mathcal{G}$ เหรอ?
เช่นพิจารณาแบบจำลองสมมาตรดั้งเดิมของโคเฮน $ZF+\neg AC$ ที่ซึ่งเขาเชื่อมต่อกับเรียลทั่วไปจำนวนมากจากนั้นดำเนินการสร้างเซตย่อยที่ไม่มีที่สิ้นสุด $A\subset \mathbb{R}$โดยไม่มีส่วนย่อยที่นับไม่ถ้วน จากนั้นการก่อสร้างที่อธิบายไว้ข้างต้นควรอนุญาตให้เราติดกัน$I$ หลายชุดดังกล่าว $(A_i)_{i\in I}$ ในครั้งเดียว.
มีภาวะแทรกซ้อนใด ๆ ที่อาจพบในโครงสร้างประเภทนี้ (เช่นการบังคับผลิตภัณฑ์สมมาตร) มีวรรณคดีเรื่องใดบ้าง?
คำตอบ
ใช่มีเรื่องนี้มากมายในวรรณคดี แม้จะน้อยมากในแนวทางของ "กรอบนามธรรม". นี่คือสิ่งที่ทำโดยพื้นฐานตั้งแต่วันแรก ๆ ของการบังคับและคุณสามารถพบหลักฐานของสิ่งนั้นได้ในเอกสารยุคแรก ๆ
ในผลงานของฉัน
Karagila, Asaf , การทำซ้ำส่วนขยายสมมาตร , J. Symb บันทึก 84, ฉบับที่ 1, 123-159 (2019) ZBL1448.03038
Karagila, Asaf , The Morris model , Proc. น. คณิตศาสตร์. Soc. 148, ฉบับที่ 3, 1311-1323 (2020) ZBL07159661
คุณสามารถค้นหาวิธีการรักษาทั่วไปได้ ผลิตภัณฑ์เป็นกรณีเฉพาะของการทำซ้ำและกระดาษแผ่นแรกจะเกี่ยวข้องกับกรณีที่การสนับสนุน จำกัด อย่างไรก็ตามในกรณีของผลิตภัณฑ์เราสามารถขจัดความยุ่งยากบางประการในการทำซ้ำการสนับสนุนโดยพลการและงานบางส่วนจะทำในเอกสารที่สอง
นอกจากนั้นคุณสามารถดูผลิตภัณฑ์ที่กำหนด "ด้วยมือ" ได้ในหลาย ๆ ที่แล้วยังง่ายที่จะเห็นว่าคำจำกัดความมีไว้สำหรับระบบสมมาตรทุกประเภท (แต่โดยปกติผลิตภัณฑ์จะใช้กับการตีแบบโคเฮน) นี่คือตัวอย่างล่าสุดบางส่วนส่วนใหญ่มาจากงานของฉันที่วนเวียนอยู่ในหัวข้อนี้ค่อนข้างบ่อยและตัวอย่างเก่า ๆ
ฮายุท, แยร์; Karagila, Asaf , Spectra ของความสม่ำเสมอ , อรรถกถา. คณิตศาสตร์. Univ. แครอล. 60, ฉบับที่ 2, 287-300 (2019) ZBL07144894
Karagila, Asaf , การฝังคำสั่งลงในพระคาร์ดินัลด้วย (\ mathsf {DC} _ {\ kappa}) , Fundam คณิตศาสตร์. 226, ฉบับที่ 2, 143-156 (2557). ZBL1341.03068
Karagila, A. , lemma ของ Fodor สามารถล้มเหลวได้ทุกที่ , Acta Math แขวน. 154 เลขที่ 1 231-242 (2561) ZBL1413.03012
Monro, GP , ผลลัพธ์ความเป็นอิสระเกี่ยวกับเซต Dedekind-finite , J. คณิตศาสตร์. Soc., Ser. ก 19, 35-46 (2518) ZBL0298.02066
Roguski, Stanisław , คลาสที่เหมาะสมของพระคาร์ดินัลที่ไม่มีใครเทียบได้คู่ Colloq คณิตศาสตร์. 58, ฉบับที่ 2, 163-166 (1990). ZBL0706.03038
ระหว่างสิ่งเหล่านี้คุณจะเห็นการสนับสนุนที่ จำกัด นับได้ (หรือ $\kappa$-) สนับสนุน Easton สนับสนุนและคุณจะเห็นว่าการก้าวกระโดดไปสู่สิ่งอื่นใด (ซึ่งตอนนี้การสนับสนุนแบบผสมอื่น ๆ นั้นเหมือนกันจริงๆ)
ในความเป็นจริงเรามีอำนาจมากขึ้นในขณะนี้เนื่องจากเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการสนับสนุนในผลิตภัณฑ์ของตัวกรองและกลุ่มต่างๆ คุณคิดว่านั่นหมายความว่าเราสามารถพูดได้มากกว่านี้ แต่จริงๆแล้วมันไม่เกี่ยวข้องกัน
ในเอกสารของฉันเกี่ยวกับการทำซ้ำฉันได้อธิบายแนวคิดที่เรียกว่า "ความดื้อรั้น" ตอนจบปริญญาเอกของฉัน ในการสนทนาหลายครั้งที่ฉันมีกับ Yair Hayut เราตัดสินใจที่จะลองคิดดูว่าอะไรอยู่ภายใต้แนวคิดนั้นจริงๆ และปรากฎว่าทุกระบบสมมาตรเทียบเท่ากับระบบที่หวงแหน และนั่นหมายความว่าการเล่นด้วยการสนับสนุนที่แตกต่างกัน (เช่นการสนับสนุนแบบ จำกัด บนฟิลเตอร์ในขณะที่ใช้ Easton ในการบังคับ) มักจะเทียบเท่ากับการสนับสนุนที่น้อยที่สุดที่คุณใช้ ไม่จำเป็นเสมอไป แต่โดยปกติ
สำหรับโมเดล Cohen นั้นค่อนข้างยุ่งยาก ยาสามัญแต่ละชนิดเป็นของจริงและเราไม่เพียง แต่ใส่ใจในสิ่งเหล่านั้นเท่านั้น แต่เรายังให้ความสำคัญกับชุดของยาชื่อสามัญทั้งหมดด้วย ดังนั้นนี่จึงไม่ใช่ผลิตภัณฑ์ แต่เป็นการทำซ้ำของการเพิ่มของจริงแต่ละรายการโดยละเมิดทางเลือกโดยการไม่เพิ่มชุดของจริงทั้งหมดจากนั้นบังคับให้เพิ่มชุดข้อมูลทั่วไปโดยไม่ต้องเรียงลำดับที่ดี ทั้งหมดนี้ทำให้วิธีการคิดเป็นส่วนขยายเดียวง่ายขึ้นมาก