ปล่อย $x_0$ เป็นตัวเลขที่ยอดเยี่ยม $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$. ขีด จำกัด ของ $x_n$เหรอ?

Question

ปล่อย $x_0$ เป็นตัวเลขที่ยอดเยี่ยม $$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$ ขีด จำกัด ของ $x_{n}$เหรอ?

เลือก $x_0=\pi$และดูเหมือนว่าขีด จำกัด ของ $x_n$ คือ $-1$. แต่อะไรคือข้อพิสูจน์สำหรับเรื่องนี้$\pi$และหมายเลขอื่น ๆ ? ปล่อย$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$ สิ่งต่อไปนี้อาจเป็นประโยชน์ $$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$.

Answer 1

ปล่อย $f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$. ถ้า$\lim x_n$ มีอยู่แล้ว $L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$ดังนั้นตั้งค่า $$L=f(L)$$

มีสามวิธีในการแก้ไขปัญหานี้: $L = -3, -1, 1$. เพื่อค้นหาสิ่งที่ถูกต้องโปรดสังเกตว่าสำหรับละแวกใกล้เคียง$-3$, คุณมี $|f(x)+3|>|x+3|$และรอบ ๆ $1$, คุณมี $|f(x)-1|>|x-1|$. สำหรับทั้ง$-3$ และ $1$ความแตกต่างจะยิ่งใหญ่ขึ้น รอบ ๆ$-1$ ในทางกลับกันคุณมี $|f(x)+1|<|x+1|$ดังนั้นความแตกต่างจึงเล็กลง (นี่ไม่ใช่ข้อพิสูจน์ที่เข้มงวด แต่เป็นสิ่งที่เข้าใจง่ายมากกว่า)

ดังนั้นสำหรับ "ส่วนใหญ่" $x_0$มันจะมาบรรจบกันเป็น $-1$. วิธีเดียวที่มันจะมาบรรจบกัน$-3$ หรือ $1$คือถ้ามันมาบรรจบกันในจำนวนการวนซ้ำที่แน่นอน แต่เพื่อที่จะเป็นจริงมันจะต้องมีวิธีแก้$$f^n(x_0) = -3$$ (หรือ $1$) สำหรับบางคน $n$ซึ่งหมายความว่าต้องเป็นพีชคณิต ดังนั้นสำหรับยอดเยี่ยมทั้งหมดขีด จำกัด จะเป็น$-1$.