ประเภทโมโนนอยด์ที่มีเทนเซอร์มีตัวปรับด้านซ้าย
มีชื่อสำหรับประเภท monoidal หรือไม่ $(\mathscr V, \otimes, I)$ ดังนั้น $\otimes$ มีตัวปรับด้านซ้าย $(\ell, r) : \mathscr V \to \mathscr V^2$เหรอ? พวกเขาได้รับการศึกษาทุกที่หรือไม่? มีตัวอย่างอะไรที่น่าสนใจบ้าง?
คำพูดสองสามข้อ: เมื่อ $I : 1 \to \mathscr V$ มีตัวปรับด้านซ้ายแล้ว $\mathscr V$เป็นเซมิโคลอนกล่าวคือหน่วยเป็นเทอร์มินัล เมื่อไหร่$\otimes$ มีตัวปรับด้านซ้ายซึ่งยิ่งไปกว่านั้นเส้นทแยงมุม $\Delta : \mathscr V \to \mathscr V^2$แล้ว $\mathscr V$ มีผลิตภัณฑ์ไบนารี
ฉันจะแกะคำจำกัดความที่นี่เพื่อทำให้โครงสร้างมีความชัดเจนมากขึ้น ปล่อย$(\mathscr V, \otimes, I)$ เป็นหมวดหมู่ monoidal $\otimes$ มีตัวปรับด้านซ้ายหากเรามีสิ่งต่อไปนี้
- endofunctors $\ell : \mathscr V \to \mathscr V$ และ $r : \mathscr V \to \mathscr V$;
- สำหรับทุกคู่ของ morphisms $f : \ell(X) \to Y$ และ $g : r(X) \to Z$มอร์ฟีน $\{f, g\} : X \to Y \otimes Z$;
- สำหรับทุก morphism $h : X \to Y \otimes Z$, สัณฐาน $h_\ell : \ell(X) \to Y$ และ $h_r : r(X) \to Z$,
เช่นนั้นสำหรับทุกคน $x : X' \to X$, $y : Y \to Y'$ และ $z : Z \to Z'$, เรามี $$y \otimes z \circ \{ f, g \} \circ x = \{ y \circ f \circ \ell(x), z \circ g \circ r(x) \}$$ $$\{ h_\ell, h_r \} = h$$ $$\{ f, g \}_\ell = f$$ $$\{ f, g \}_r = g$$
คำตอบ
เพียงเพื่อทำความสะอาดไฟล์ $\epsilon$ของห้องที่เหลือหลังจากคำตอบของ Qiaochu - เราสามารถกำจัดสมมติฐานพิเศษได้ ฉันจะเขียน$I$ สำหรับหน่วย monoidal และ $1$ สำหรับวัตถุเทอร์มินัล
สมมติว่า $(\ell,r) \dashv \otimes$. จากนั้นไอโซมอร์ฟิสตามธรรมชาติ$A \cong I \otimes A \cong A \otimes I$ ก่อให้เกิดขึ้นโดยการเชื่อมต่อกับแผนที่ $\ell A \to I$ และ $r A \to I$เป็นธรรมชาติ $A$. เรายังมีแผนที่หน่วย$A \to (\ell A) \otimes (r A)$เป็นธรรมชาติ $A$. การปรับแต่งและการเขียนเราได้รับแผนที่$A \to (\ell A) \otimes (r A) \to I \otimes I \cong I$เป็นธรรมชาติ $A$. นั่นคือเรามีโคโคน (มีจุดยอด$I$) บนตัวดำเนินการประจำตัวสำหรับ $V$. เป็นไปตามนั้นในการเสร็จสิ้นที่ระบุไว้$\tilde V$ ของ $V$มีวัตถุเทอร์มินัล (ซึ่งจะต้องมีการถอนกลับของ $I$).
ตอนนี้การดำเนินการเสร็จสมบูรณ์ $\tilde V$ อีกครั้งมีโครงสร้าง monoidal $\tilde \otimes$ ด้วยปุ่มปรับด้านซ้าย $(\tilde \ell, \tilde r)$. ดังนั้นส่วนแรกของอาร์กิวเมนต์ Eckmann-Hilton ของ Qiaochu สามารถทำงานได้$\tilde V$: $I = I \otimes I = (I \times 1) \otimes (1 \times I) = (I \otimes 1) \times (1 \otimes I) = 1 \times 1 = 1$ (ในนิพจน์ที่สามผลิตภัณฑ์มีอยู่เล็กน้อยและในสี่ผลิตภัณฑ์มีอยู่เนื่องจาก $\otimes$รักษาผลิตภัณฑ์). นั่นคือเราต้องมี$I_{\tilde V} = 1_{\tilde V}$. แต่$I_{\tilde V}$ เป็นภาพของ $I_V$ ใน $\tilde V$และการรวมไว้ในการทำให้สมบูรณ์ของ idempotent สะท้อนให้เห็นถึงวัตถุเทอร์มินัล ดังนั้น$V$ มีวัตถุเทอร์มินัลและ $1_V = I_V$.
จากนั้นตามที่สังเกตในความคิดเห็นด้านบนส่วนที่สองของอาร์กิวเมนต์ Eckmann-Hilton ของ Qiaochu สามารถทำงานได้ใน $V$: $A \otimes B = (A \times 1) \otimes (1 \times B) = (A \otimes 1) \times (1 \otimes B) = A \times B$ (ในนิพจน์ที่สองผลิตภัณฑ์มีอยู่เล็กน้อยและในสามผลิตภัณฑ์มีอยู่เนื่องจาก $\otimes$เก็บรักษาผลิตภัณฑ์) นั่นคือผลิตภัณฑ์ไบนารีมีอยู่ใน$V$ และเห็นด้วยกับ $\otimes$. ในความเป็นจริงตัวระบุตัวตนเป็น functor แบบ monoidal oplax จาก$(V,\otimes)$ ถึง $(V,\times)$ซึ่งอาร์กิวเมนต์แสดงให้เห็นว่าเป็น monoidal ที่แข็งแกร่งจริงๆ ด้วยประการฉะนี้$(V,\otimes) \simeq (V,\times)$ เป็นประเภท monoidal
ถ้า $\otimes : V \times V \to V$ มีตัวปรับด้านซ้ายและ $V$ มีสินค้า จำกัด แล้ว $\otimes$ รักษาพวกเขาในแง่ของแผนที่ธรรมชาติ
$$(X \times Y) \otimes (Z \times W) \to (X \otimes Z) \times (Y \otimes W)$$
คือ isomorphism โดยอาร์กิวเมนต์ Eckmann-Hilton ในรูปแบบ monoidal สำหรับฉันดูเหมือนว่านี่เป็นนัยอย่างนั้น$\otimes$คือผลิตภัณฑ์ อย่างชัดเจนถ้าเราปล่อยให้$1_{\times}$ แสดงถึงวัตถุเทอร์มินัลและ $1_{\otimes}$ แสดงว่าหน่วย monoidal แล้วเราจะได้ isomorphisms
$$1_{\otimes} \cong 1_{\otimes} \otimes 1_{\otimes} \cong (1_{\otimes} \times 1_{\times}) \otimes (1_{\times} \times 1_{\otimes}) \cong (1_{\otimes} \otimes 1_{\times}) \times (1_{\times} \otimes 1_{\otimes}) \cong 1_{\times} \times 1_{\times} \cong 1_{\times}$$
ดังนั้น $1_{\otimes} \cong 1_{\times}$(และไอโซมอร์ฟิซึมนี้มีลักษณะเฉพาะหากมีอยู่ดังนั้นเราจึงไม่จำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับความเป็นธรรมชาติมากนัก) ตอนนี้เราสามารถทิ้งตัวห้อยที่อุกอาจและอ้างถึง$1$. สิ่งนี้ทำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ
$$X \otimes Y \cong (X \times 1) \otimes (1 \times Y) \cong (X \otimes 1) \times (1 \otimes Y) \cong X \times Y$$
สำหรับใด ๆ $X, Y$. อันที่จริงฉันไม่แน่ใจว่าข้อโต้แย้งนี้แสดงให้เห็นว่าผู้เชื่อมโยงและหน่วยงานของ$\otimes$ จับคู่กับผู้เชื่อมโยงและหน่วยงานของผลิตภัณฑ์ แต่ฉันเดาว่าอาร์กิวเมนต์นี้มีเวอร์ชันที่ซับซ้อนกว่านี้
ฉันไม่รู้ว่ามันเป็นไปได้ไหม $V$ไม่มีผลิตภัณฑ์ที่ จำกัด (ก่อนหน้านี้มีข้อโต้แย้งเกี่ยวกับการประชุมวัน แต่ทิมได้ชี้ให้เห็นถึงช่องว่างในความคิดเห็น)