ปริมาณการทำให้เป็นจริงมากกว่าเหตุผล

Question

มีฟังก์ชันมูลค่าจริงที่ขยายที่ไม่เป็นค่าลบในส่วนย่อยของ $\mathbb{Q}^3$ นั่นคือการเติมแต่งอย่างประณีตในชุดที่ไม่ปะติดปะต่อการแปลไม่แปรผันและผลลัพธ์ $(\text{length} \times \text{width} \times \text{height})$สำหรับกล่อง? เป็นผลลัพธ์ที่น่าทึ่งของทฤษฎีการวัดของ Lebesgue ที่ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวที่สามารถเติมแต่งได้$\mathbb{Q}^3$ หรือ $\mathbb{R}^3$. ฉันสงสัยว่าสิ่งเดียวกันนี้จะเป็นจริงหรือไม่สำหรับฟังก์ชั่นชุดเสริมเพิ่มเติม$\mathbb{Q}^3$. ถ้าเป็นเช่นนั้นดูเหมือนจะชี้ให้เห็นว่ามีอุปสรรคพื้นฐานบางประการในการกำหนดแนวความคิดที่ใช้งานง่ายอย่างเป็นทางการ

Answer 1

ฉันเดาว่าสำหรับธรรมชาติแต่ละอย่าง $n$ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันที่ต้องการได้ $\mu$ บน $\Bbb Q^n$ดังต่อไปนี้. ปล่อย$G=\Bbb Q^n/\Bbb Z^n$ เป็นกลุ่มผลหารและ $q:\Bbb Q^n\to G$เป็น homomorphism เชิงเชาวน์ กลุ่ม$G$ เป็น Abelian ดังนั้นจึงสามารถคล้อยตามได้ (ดูตัวอย่างเช่น Corollary 2.9 จาก [Ban]) นั่นคือ $G$ ยอมรับการวัดการเติมแต่งแบบคงที่ไม่เปลี่ยนแปลง $\nu$, ดังนั้น $\nu(G)=1$. สำหรับแต่ละส่วนย่อย$A$ ของ $\Bbb Q^n\cap [0,1)^n$ ใส่ $\mu(A)=\nu(q(A))$. ตอนนี้ให้$A$ เป็นชุดย่อยของ $\Bbb Q^n$. แล้ว$A=\bigcup \{A_{x}:x\in \Bbb Z^n\}$, ที่ไหน $A_x=(x+[0,1)^n)\cap A$ แต่ละ $x\in\Bbb Z^n$. ใส่$\mu(A)=\sum_{x\in\Bbb Z^n}\mu(A_x-x)$.

ฉันเดาว่าถ้า $A$ เป็นกล่องตามด้วยค่าที่ถูกต้องของ $\mu(A)$ สามารถแสดงได้ดังนี้

เลมมา. แต่ละ$k=1,\dots,n$, แต่ละ $y\in Q$, $\mu(A\cap H)=0$, ที่ไหน $H $ คือไฮเปอร์เพลน $\{(x_1,\dots, x_n)\in\Bbb Q^n:x_k=y\}$.

หลักฐาน . แต่ละ$x\in\Bbb Z^n$ และธรรมชาติแต่ละอย่าง $N$, กลุ่ม $G$ ประกอบด้วย $N$ สำเนาไม่ปะติดปะต่อ $g_1+q((A\cap H)_x-x), g_2+q((A\cap H)_x-x),\dots, g_N+q((A\cap H)_x-x)$ ของชุด $ q((A\cap H)_x-x)$ สำหรับองค์ประกอบบางอย่าง $g_1,\dots,g_N\in G$. ตั้งแต่$\mu$ คือการเปลี่ยนแปลงไม่แปรเปลี่ยนและมีการเติมแต่งอย่างประณีตเป็นไปตามนั้น $\mu q((A\cap H)_x-x)\le 1/N$.

ตอนนี้ถ้า $A$ เป็นกล่องแล้วแต่ละกล่อง $A_x$ คือกล่อง (เป็นไปได้โดยไม่มี "ขอบเขต") ดังนั้นค่าที่ถูกต้องของ $\mu(A)$ ควรติดตามจากความประณีตของชุด $X=\{ x\in\Bbb Z^n: A_x\ne\varnothing\} $, การเพิ่มที่ จำกัด ของ $\mu$และแก้ไขค่าของ $\mu(A_x)$ แต่ละ $x\in X$. ประการหลังควรตามมาจากการเติมเต็มของทั้งสองอย่าง$\mu$ และ $\nu$ค่าที่ถูกต้องของ $\mu(B)$ ของบล็อกพื้นฐาน $B$ ของแบบฟอร์ม $B=\Bbb Q^n\cap \prod [r_i/s_i, (r_i+1)/s_i$ที่สำหรับแต่ละ $i$, $0\le r_i<s_i$ คือจำนวนเต็มและพาร์ติชันของเซต $A_x$ ในการรวมกันของบล็อกพื้นฐาน (ขึ้นอยู่กับขอบเขตของพวกเขา)

อ้างอิง

[แบน] Taras Banakh https://arxiv.org/abs/1312.5078.