Prime Spectrum of a ring: ทำไมเรขาคณิตจึงถูกจับโดยวงแหวนในพื้นที่?
ถ้าเป็นฟังก์ชัน $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ เป็นไปอย่างต่อเนื่อง $f$จะกลับด้านในทุกจุดที่ไม่หายไป นั่นคือสำหรับทุกจุด$x_0$ ดังนั้น $f(x_0) \neq 0$มีพื้นที่ใกล้เคียงเปิดอยู่ $U$ ของ $x_0$ และฟังก์ชั่น $g: U \rightarrow \mathbb R$เช่นนั้นสำหรับทุกคน $u \in U$, $(f \times g)(u) = f(u) \times g(u) = 1$.
Converse จริงหรือ? ฟังก์ชั่นที่กลับด้านในเครื่องที่จุดที่ไม่หายไปทั้งหมดต่อเนื่องกันหรือไม่?
ดูเหมือนจะไม่ใช่ พิจารณาฟังก์ชัน$ f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 2 & \text{otherwise} \end{cases} $
สิ่งนี้มีฟังก์ชันผกผัน $ g(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 1/2 & \text{otherwise} \end{cases} $
ถึงแม้ว่า $f$ไม่ต่อเนื่องทุกที่ เห็นได้ชัดว่านิยามที่กลับหัวได้ในพื้นที่นี้อยู่ห่างไกลจากการให้ฟังก์ชันต่อเนื่องกับเรามาก
ตอนนี้ฉันไม่ได้รับการกระตุ้นเกี่ยวกับสเปกตรัมของวงแหวน นี่คือคุณสมบัติ "การผกผันในท้องถิ่น" ที่ (ฉันคิดว่า) กระตุ้นให้เกิดนิยามของโครงสร้างมัดบนสเปกตรัมของวงแหวน ใน$\operatorname{Spec}(A)$, วงแหวนของฟังก์ชันรอบจุด (ไพรม์) $\mathfrak p$ คือ $A_\mathfrak p$. ดังนั้นฟังก์ชันทั้งหมด (องค์ประกอบวงแหวน) ซึ่งไม่ได้เป็นศูนย์ที่$\mathfrak p$ จะถูกบังคับให้พลิกกลับโดยวิธีการแปล
แต่คำจำกัดความนี้ดูเหมือนจะไม่แข็งแรงพอที่จะจับสิ่งที่เราต้องการได้จริง --- มันอนุญาตให้มีวงแหวนของฟังก์ชันทางพยาธิวิทยาจำนวนมากซึ่งเราไม่สามารถกู้คืนโครงสร้างของพื้นที่เดิมได้ ข้อพิสูจน์ที่ฉันรู้ว่าพื้นที่ใดที่กู้คืนพื้นที่เดิมได้เนื่องจากวงแหวนของฟังก์ชันจำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันต่อเนื่องเพื่อใช้คำศัพท์ของ Urhyson [สามารถพบได้ใน Atiyah Macdonald, บทที่ 1, แบบฝึกหัดที่ 26)
ฉันขาดอะไรไป?
คำตอบ
เป็นความจริงที่ว่าฟังก์ชัน (มูลค่าจริงหรือเชิงซ้อน) ต่อเนื่องหรือแตกต่างกันได้อย่างต่อเนื่องหรือราบรื่นหรือวิเคราะห์ ฯลฯ ที่หายไปไม่มีที่ใดเลยที่มีผกผันทวีคูณในหมวดหมู่เดียวกัน ยิ่งไปกว่านั้นโดยความต่อเนื่องฟังก์ชันสามารถหายไปในชุดปิดเท่านั้น ดังนั้นฟ่อนของฟังก์ชันดังกล่าวบนพื้นที่ทอพอโลยีจึงมีคุณสมบัติที่ก้านของมันเป็นวงแหวนเฉพาะที่ สำหรับพันธุ์พีชคณิตที่วัดไม่ได้ที่กำหนดไว้ในแบบคลาสสิกเรามีฟังก์ชันเชิงเหตุผลฟ่อนของฟังก์ชันปกติจะมีคุณสมบัติเหมือนกัน สำหรับความหลากหลายทางพีชคณิตที่ไม่สามารถวัดผลไม่ได้เราไม่สามารถพูดถึงฟังก์ชันเชิงเหตุผลได้จริง ๆ แต่การวิเคราะห์อย่างใกล้ชิดเกี่ยวกับฟ่อนของฟังก์ชันปกติเกี่ยวกับพันธุ์พีชคณิตเชิงสัมพันธ์ที่ไม่สามารถลดทอนได้แสดงให้เห็นว่าไม่จำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันที่มีเหตุผลตั้งแต่แรกและนั่นคือวิธีที่ เราได้คำจำกัดความของโครงสร้างมัดของโครงร่าง Affine ทั่วไป ความจริงที่ว่าก้านเป็นวงแหวนในท้องถิ่นในแง่หนึ่งก็เป็นเรื่องบังเอิญ
ปล่อย $k$ เป็นสนามปิดเชิงพีชคณิตและปล่อยให้ $X$ เป็นส่วนย่อยของ $k^n$. สำหรับวัตถุประสงค์ของคำตอบนี้เป็นฟังก์ชั่นปกติใน$X$ เป็นฟังก์ชัน $f : X \to k$ ซึ่งมีพหุนามอยู่ $p$ และ $q$ เกิน $k$ ดังนั้น $q (x) \ne 0$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in X$ และ $f (x) = p (x) / q (x)$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in X$. ปล่อย$\mathscr{O} (X)$ เป็นชุดของฟังก์ชันปกติบน $X$. จากนั้น:
ถ้า $X$ เป็นชุดย่อยปิดที่ไม่สามารถวัดได้ของ $k^n$จากนั้นจึงมอบหมายงาน $U \mapsto \mathscr{O} (U)$, ที่ไหน $U$ แตกต่างกันไปตามส่วนย่อยที่เปิดอยู่ของ $X$กำหนดส่วนย่อย $\mathscr{O}_X$ ของฟ่อนของ $k$ฟังก์ชั่นที่มีมูลค่าเปิดอยู่ $X$.
มีการอ้างสิทธิ์ให้ตรวจสอบที่นี่กล่าวคือความสม่ำเสมอของฟังก์ชันเป็นคุณสมบัติเฉพาะที่ แต่ฉันฝากไว้ให้คุณ จำเป็นต้องมีคำจำกัดความข้างต้น$X$ ที่จะฝังใน $k^n$แต่สิ่งนี้ไม่จำเป็นจริงๆ ประการแรก:
ถ้า $X$ เป็นชุดย่อยปิดของ $k^n$ และ $f : X \to k$ เป็นฟังก์ชันปกติจากนั้นจึงมีพหุนาม $p$ เกิน $k$ ดังนั้น $f (x) = p (x)$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in X$.
ให้เป็นปกติมากกว่านี้:
ปล่อย $X$ เป็นชุดย่อยปิดของ $k^n$, ปล่อย $q$ เป็นพหุนามมากกว่า $k$และปล่อยให้ $U = \{ x \in X : q (x) \ne 0 \}$. ถ้า$f : U \to k$ เป็นฟังก์ชันปกติแล้วจึงมีจำนวนเต็มบวก $m$ และพหุนาม $p$ เกิน $k$ ดังนั้น $f (x) = p (x) / q (x)^m$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in X$.
ยิ่งไปกว่านั้นถ้า $U$ มีความหนาแน่นใน $X$แล้ว homomorphism ที่เป็นเอกลักษณ์ $k [x_1, \ldots, x_n, u] \to \mathscr{O} (U)$ การส่ง $x_1, \ldots, x_n$ ไปยังฟังก์ชันพิกัดที่เกี่ยวข้อง $U \to k$ และ $u$ ไปที่ฟังก์ชันปกติบน $U$ ที่กำหนดโดย $1 / q$ มีเคอร์เนล $(I (X) + (q u - 1))$, ที่ไหน $I (X)$ เป็นอุดมคติของพหุนามที่หายไป $X$.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา $f : U \to k$ เป็นฟังก์ชันปกติมีพหุนามอยู่ $p_1$ และ $q_1$ ดังนั้น $q_1 (x) \ne 0$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in U$ และ $f (x) = p_1 (x) / q_1 (x)$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in U$. โดย Nullstellensatz$\sqrt{I (X) + (q_1)} \supseteq \sqrt{I (X) + (q)}$; โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีจำนวนเต็มบวก$m$ และ $r \in k [x_1, \ldots, x_n]$ และ $s \in I (X)$ ดังนั้น $q_1 r + s = q^m$. ดังนั้น$$\frac{p_1 (x)}{q_1 (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q_1 (x) r (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q (x)^m}$$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in U$ดังนั้นเราอาจใช้เวลา $p = p_1 r$.
ระบุองค์ประกอบทั่วไปของ $k [x_1, \ldots, x_n, u]$, พูด $p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m$, ที่ไหน $p_0, \ldots, p_m$ เป็นพหุนามใน $x_1, \ldots, x_n$ เกิน $k$, เรามี $$p_0 (x) + \frac{p_1 (x)}{q (x)} + \cdots + \frac{p_m (x)}{q (x)^m} = 0$$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in U$ ถ้าและต่อเมื่อ $$p_0 (x) q (x)^m + p_1 (x) q (x)^{m - 1} + \cdots + p_m (x) = 0$$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in U$. ตั้งแต่$U$ มีความหนาแน่นใน $X$สมการที่สองมีไว้สำหรับทุกคน $x \in X$ดังนั้น $$p_0 q^m + p_1 q^{m - 1} + \cdots + p_m \in I (X)$$ และด้วยเหตุนี้ $$p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m \in I (X) + (q u - 1)$$ตามความจำเป็น. ■
ผลสรุปของทั้งหมดนี้คือถ้า $X$ เป็นชุดย่อยปิดที่ไม่สามารถวัดได้ของ $k^n$แล้วมัด $\mathscr{O}_X$ สามารถสร้างขึ้นใหม่ได้จากวงแหวน $\mathscr{O} (X)$ ร่วมกับการคาดคะเนระหว่างอุดมคติสูงสุดของ $\mathscr{O} (X)$ และจุดของ $X$: ด้านบนแสดงให้เห็นว่าสำหรับส่วนย่อยที่เปิดอยู่หลัก $U \subseteq X$เช่น $U = \{ x \in X : f (x) \ne 0 \}$ สำหรับบางคน $f \in \mathscr{O} (X)$, แหวน $\mathscr{O} (U)$ คือการแปลเป็นภาษาท้องถิ่นของ $\mathscr{O} (X)$ เกี่ยวกับเซตคูณ $\{ 1, f, f^2, \ldots \}$. ง่ายต่อการตรวจสอบว่าแผนที่ข้อ จำกัด เป็นแผนที่ที่ชัดเจน เนื่องจากชุดย่อยเปิดหลักของ$X$ เป็นพื้นฐานสำหรับโทโพโลยีของ $X$สิ่งนี้กำหนดฟ่อน $\mathscr{O}_X$. Modulo การแนะนำอุดมคติเฉพาะที่ไม่ใช่สูงสุดนี่คือวิธีการสร้างโครงสร้างมัดสำหรับโครงร่าง Affine ทั่วไป