รับตัวแปรสุ่ม iid $\{X_n\}$ด้วยวินาทีที่แน่นอน พิสูจน์ $n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$

Aug 18 2020

รับตัวแปรสุ่ม iid $\{X_n\}$ด้วยวินาทีที่แน่นอน วิธีพิสูจน์$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$เหรอ?

ฉันได้ลองความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev:
$$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\leq n\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2n}=\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2}$$แต่มันไม่ได้ผลเพราะเรามีเวลาสั่งซื้อที่สองเท่านั้น มีความไม่เท่าเทียมกันที่ละเอียดอ่อนกว่าความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev หรือไม่?

คำตอบ

3 KaviRamaMurthy Aug 18 2020 at 09:09

$nP(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n) \leq n\frac { \int_{E_n} |X_1|^{2}dP} {\epsilon n}$ ที่ไหน $E_n=(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n)$. ใช้ความจริงที่ว่า$\int_{E_n} |X_1|^{2}dP \to 0$ ตั้งแต่เหตุการณ์ $\int_{E_n} |X_1|^{2}$ ลดลงเป็นชุดว่างและ $E|X_1|^{2} <\infty$.

1 Soumik Aug 18 2020 at 09:17

ฉันจะพิสูจน์อักษรย่อต่อไปนี้ซึ่งคำตอบของคุณจะเป็นไปตามนั้น

ปล่อย $X$ เป็นตัวแปรสุ่มมูลค่าจริงที่ไม่เป็นลบเช่นนั้น $\mathbb E(X)<\infty$. แล้ว$$n \mathbb P[X>n ]\rightarrow 0 \text{ as }n\uparrow \infty$$ หลักฐาน: $\mathbb E(X)=\mathbb E(X\mathbb 1_{X\leq n})+\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n })$.

ตั้งแต่ $X\mathbb 1_{X<n}\uparrow X$ เช่น $n\uparrow \infty$ และตัวแปรสุ่มทั้งหมดไม่เป็นลบโดย Monotone Convergence Theorem ที่เรามี $$\lim_{n\uparrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X<n})=\mathbb E(X)$$จึงเป็นไปตามนั้น $$\lim_{n\rightarrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n}) =0$$ ตั้งแต่ $0\leq n\mathbb 1_{X>n}\leq X\mathbb1 _{X>n}$, เราได้รับ $$0\leq \mathbb E(n\mathbb 1_{X>n})\leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})$$ $$\implies 0\leq n \mathbb P[ X>n ] \leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})\rightarrow 0 \text{ as }n\rightarrow \infty$$ใช้ Sandwich Theorem เพื่อสรุป สุดท้ายในปัญหาของคุณดูที่$Z:=\frac{|X_1 |}{\epsilon}$