แสดงว่าเป็นกลุ่มคำสั่ง $pq$ มีกลุ่มย่อยของคำสั่งซื้อ $p$ และ $q$ โดยไม่ต้องใช้ทฤษฎีบทของ sylow และ cauchy
ถ้า $o(G)$ คือ $pq$, $p>q$ เป็นช่วงเวลาพิสูจน์ว่า $G$ มีกลุ่มย่อยของคำสั่งซื้อ $p$ และกลุ่มย่อยของคำสั่งซื้อ $q$.
[คำถามนี้มาจาก Herstein และมาก่อนทฤษฎีบทของ Sylow และ Cauchy ดังนั้นฉันจึงคาดหวังคำตอบโดยไม่ต้องใช้สิ่งเหล่านี้]
นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับจนถึงตอนนี้:
ถ้า $G$ เป็นวัฏจักรจากนั้นเราจะทำอย่างอื่นเราสามารถสันนิษฐานได้ว่ามันไม่ใช่วงจรซึ่งหมายความว่าทุกองค์ประกอบที่ไม่ใช่ตัวตนจะต้องมีระเบียบ $p$ หรือ $q$.
กรณี $(1)$ ถ้ามีอยู่ $a\in G$ ดังนั้น $o(a) = p$ และหากมีองค์ประกอบของคำสั่ง $q$เสร็จแล้ว ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าทุกองค์ประกอบที่ไม่ใช่ตัวตนนั้นมีระเบียบ$p$. ตอนนี้เลือก$b\in G$ ดังนั้น $b\notin \langle a \rangle$ แล้ว $o(b) = p$ และ $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$
ดังนั้นเราจึงมี $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ แต่ $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ แต่ $p^2 > pq$ [ตั้งแต่ $p>q$] ดังนั้นเราจึงมีความขัดแย้ง
ให้คำแนะนำสำหรับกรณีที่สองและแก้ไขฉันหากข้อโต้แย้งของฉันสำหรับกรณีแรกไม่ถูกต้อง
คำตอบ
สมมติว่าทุกองค์ประกอบที่ไม่ใช่ตัวตนสร้างกลุ่มคำสั่งแบบวนรอบ $q$ยิ่งมีค่าน้อยลง
Conjugacy เป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันในกลุ่ม ดังนั้นเราควรจะแบ่งกลุ่มออกเป็นคลาสเทียบเท่าได้ ขนาดของคลาสความเท่าเทียมกันที่องค์ประกอบเป็นของคือดัชนีของศูนย์กลางขององค์ประกอบ ทำไม? แก้ไข$x\in G$. สร้าง homomorphism จาก$G \rightarrow G$ โดยการส่ง $g \rightarrow xgx^{-1}$. ขนาดของคลาสความเทียบเท่าคือลำดับของภาพ เคอร์เนลของแผนที่นี้คืออะไร?
หากศูนย์กลางเป็นไปตามลำดับ $p$ หรือ $pq$เราทำเสร็จแล้ว สมมติว่าทุกศูนย์กลางมีระเบียบ$q$ดัชนีของศูนย์กลางคือ $pq/q=p$. ทุกองค์ประกอบจะอยู่ในระดับขนาดที่เท่ากัน$p$ยกเว้นองค์ประกอบเอกลักษณ์
การคำนวณจำนวนสมาชิกอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่า $pq= kp+1$ซึ่งแสดงถึงจำนวนคลาสความเท่าเทียมกัน อย่างไรก็ตามนี่เป็นเรื่องไร้สาระดังนั้นจึงไม่ใช่ทุกกลุ่มย่อยของคำสั่งซื้อ$q$.