สามเหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุด $\frac{7}{12}$.

Question

สมมติว่ามี $75$จุดภายในคิวบ์หน่วยเพื่อให้ไม่มีจุดสามจุดที่เป็นเส้นตรงร่วมกัน พิสูจน์ว่าเป็นไปได้ที่จะเลือกสามจุดจากจุดที่กำหนดไว้ด้านบนซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุด$\frac{7}{12}$. เป็นไปได้อย่างไรที่จะได้พื้นที่ของสามเหลี่ยมจากข้อมูลที่กำหนดเหล่านี้? กรุณาช่วย. ขอบคุณล่วงหน้า.

Answer 1

แบ่งลูกบาศก์หน่วยเป็น 27 ลูกบาศก์ขนาด $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.

ตามหลักการของ pigeonhole หนึ่งในลูกบาศก์เหล่านี้มี 3 จาก 75 คะแนน จากเงื่อนไขที่กำหนดจุดเหล่านี้จะไม่เรียงกัน มันจึงเป็นสามเหลี่ยม

ในรูปลูกบาศก์ด้านข้าง $a$พื้นที่สูงสุดของสามเหลี่ยมที่สามารถใส่เข้าไปได้คือ $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.

สำหรับด้านข้าง $\frac{1}{3}$, นี่คือ $\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$

ดังนั้นจุดทั้งสามนี้จึงเป็นสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่น้อยกว่า $\frac{7}{12}$

Answer 2

เลือกจุด $(0,0,0)$ และ $(1,1,z)$ และ $(1,1,0)$. พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้คือ$\frac{z}{\sqrt 2}$.

ตอนนี้เลือก $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$

มีวิธีที่ไม่มีที่สิ้นสุดในการวางจุดที่เหลือ 72 จุดดังนั้นจึงควรมีวิธีที่จะทำให้ไม่มี 3 จุดที่ไม่ใช่โคลิเนีย

จุดที่เหลืออาจเช่นอยู่ในเครื่องบิน $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$ และสร้างรูปทรงกลม