สมการเชิงอนุพันธ์เบื้องต้น Boyce ตอน 2.2 แบบฝึกหัด 19 (สมการแยกส่วน)

Question

แบบฝึกหัดคือการแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น:

$$\sin{(2x)}\mathrm dx+\cos(3y)\mathrm dy = 0$$ $$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$$

เราได้รับ $\cfrac{-\cos{(2x)}}{2}+\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=K$และจาก $y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$ เราสรุปได้ว่า $$\cfrac{-\cos{(\pi)}}{2}+\cfrac{\sin{(\pi)}}{3}=K \Rightarrow K = \cfrac{1}{2}\text.$$ จากนั้น: $$\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{\cos{(2x)}}{2}=\cos^2{x} \implies \sin{(3y)}=3\cos^2{x}$$.

ทำไมวิธีแก้ปัญหาคือ $y=\cfrac{\pi-\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$ และไม่ใช่แค่ $y=\cfrac{\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$เหรอ? ผมทำอะไรผิดหรือเปล่า?

ฉันจะขอบคุณความช่วยเหลือใด ๆ

Answer 1

$\sin(3y)=3\cos^2(x) \Rightarrow y= \dfrac{ \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$

เมื่อคุณทำสิ่งนี้แสดงว่าคุณกำลังคิดอย่างนั้น $\sin(3y)$ จะกลับหัวได้ในละแวกของ $\frac{ \pi}{2}$. แต่ในทุกลูกเปิดที่มีศูนย์กลางอยู่$\frac{ \pi}{2}$ จุดที่มีอยู่ $a< \frac{ \pi}{2}< b$ ดังนั้น $\sin(3y(a))=\sin(3y(b))$ เพราะสี่เหลี่ยมใน $cos(x)$. ดังนั้นคุณต้องระมัดระวังในการเลือกโดเมนของโซลูชันของคุณ

การแก้ไขปัญหา $y= \dfrac{ \pi - \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$ ใช้ได้เมื่อ $x \in [0, \dfrac{ \pi}{2} ]$ ในขณะที่ $y= \dfrac{\text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$ ใช้ได้เมื่อ $x \in [\dfrac{ \pi}{2}, \pi ]$.