$ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin^2 (kx)}{k}$ และ $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos^2 (kx)}{k}$

Question

ลองตรวจสอบซีรีส์ $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\sin^2 (kx)}{k}$ และ $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\cos^2 (kx)}{k}$

---

ความพยายามของฉัน:
$\forall t , ~ \cos^2(t) + \sin^2(t) =1$ และ $\sum\limits_{k \ge 1} \dfrac{1}{k} =\infty$.
เนื่องจากเงื่อนไขทั้งสองเป็นค่าบวกอย่างน้อยหนึ่งในอนุกรมควรแตกต่างกัน
จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าทั้งสองซีรีส์แตกต่างกัน?

ตามคำใบ้ $\cos^2(kx)= 1 + 2 \cos(2kx)$

Answer 1

คำแนะนำ:

ทั้งสองซีรีส์แตกต่างกัน ในการแสดงสิ่งนี้ให้ใช้ข้อมูลประจำตัว

$$\begin{align} \sin^2(x)&=\frac{1-\cos(2x)}{2}\\\\ \cos^2(x)&=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align}$$

พร้อมกับข้อเท็จจริงที่ว่า $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{n}$ มาบรรจบกันสำหรับ $x\ne m\pi$, $m\in \mathbb{Z}$เป็นประกันโดยการทดสอบ Dirichlet ของ