ตัวอย่างเบื้องต้นสำหรับรูปแบบที่ไม่แน่นอน $1^\infty$

Question

ฉันกำลังคุยคณิตศาสตร์กับนักเรียนมัธยมต้นที่สดใสซึ่งยังไม่เคยเห็นลอการิทึมในชั้นเรียน (เราประสบความสำเร็จในการนำเข้าสู่ระบบโดยเป็นส่วนผกผันของการยกกำลัง) เธอรู้สึกทึ่งกับวิดีโอนี้และรูปแบบที่ไม่แน่นอน เราได้หารือเกี่ยวกับวิธีการ$1^\infty$"ก็เหมือนกับ"$0/0$".

ตอนนี้ฉันอยากจะพูดถึงตัวอย่างของ "$1^\infty$"น่าเสียดายที่ทุกตัวอย่างที่ฉันสามารถสร้างขึ้นมาและทุกสิ่งที่ฉันพบบนอินเทอร์เน็ตก็ใช้สิ่งนั้น$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ เช่น $t\to 0$ซึ่งอาจเป็น " ข้อเท็จจริงที่รู้จักกันดี " หรือการประยุกต์ใช้กฎของ L'Hospital ซึ่งทั้งสองข้อนี้ฉันพบว่าไม่น่าพอใจ

มีตัวอย่างที่ไม่สำคัญสำหรับ "$1^\infty$"รูปแบบที่ไม่แน่นอน (ดังนั้นไม่ใช่แค่ $1^t$ สำหรับ $t\to\infty$) ที่สามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้เพียงนิยามของลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันของการยกกำลังโดยไม่ต้องใช้แคลคูลัสหรือข้อเท็จจริงฉันจะต้องดึงหมวกออกมา?

Answer 1

ใครสามารถลืมตัวอย่างคลาสสิก:

$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$เหรอ?

ถ้าเราขยาย $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ ด้วยทฤษฎีบททวินามและเปรียบเทียบคำที่มีอำนาจที่สอดคล้องกันของ $1/n$ สำหรับค่าต่างๆของ $n$เราพบว่าฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นตาม $n$ เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต แต่ฟังก์ชันถูกล้อมรอบด้วยอนุกรมคอนเวอร์เจนต์

$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$

ดังนั้นจึงรับประกันขีด จำกัด ที่จะมีอยู่และสามารถกำหนดได้ว่าเป็น $e$ซึ่งเป็นกฎ $[\ln(1+x)]/x\to1$ เช่น $x\to 0$ ดังต่อไปนี้

Answer 2

ทำไมไม่แก้ไข $k>0$ (เช่น $k=2$) และดูที่ $(k^{1/n})^n$เหรอ?

มันค่อนข้างชัดเจนโดยสัญชาตญาณว่า $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ เช่น $n\to\infty$; ในทางกลับกันชัดเจน$n\to\infty$ เมื่อไหร่ $n\to\infty$. ดังนั้นคุณมีกรณี$1^\infty$ ซึ่งมาบรรจบกับ $k$ (และไม่ใช่แค่มาบรรจบกับ $k$แต่เป็นค่าคงที่ ) ซึ่งคุณเลือกเริ่มต้นโดยพลการ

ตอนนี้ขยายได้ง่ายด้วย $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ หรือ $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$ซึ่งมาบรรจบกับ $0$ และ $\infty$ (ในบางลำดับตราบใดที่ $k\ne 1$).

Answer 3

เราแสวงหา $f,\,g$ ด้วย $f\to1,\,g\to\infty$, พูดในฐานะ $x\to0$, ดังนั้น $f^g$ สามารถมีขีด จำกัด เพียงใดก็ได้ $L\in[0,\,\infty]$หรือไม่มีเลย ตัวอย่าง:

• $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ สำหรับ $L>1$
• $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ สำหรับ $L\in(0,\,1)$
• $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ สำหรับ $L=1$
• $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ สำหรับ $L=0$
• $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ สำหรับ $L=\infty$
• $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ สำหรับ $\lim_{x\to0}f^g$ ที่จะไม่ได้กำหนด

การเปลี่ยน $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ การแสดง $1^{-\infty}$ ทำงานในลักษณะเดียวกัน แต่ไม่มีทุกรายการที่แยกจากกัน