ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติที่น่าสงสัย

Question

แสดงโดย $L^1(0,1)$ ช่องว่างของฟังก์ชันที่รวมได้ของ Lebesgue ในช่วงเวลา $(0,1)$.

$\textbf{Question:}$ มีฟังก์ชันอยู่หรือไม่ $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ ดังนั้น:

1. $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
2. $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
3. $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$เหรอ?

ฉันเดาว่าคำตอบนั้นเป็นบวกและประเด็นคือการสร้าง $F$ ดังนั้น $F$ และ $F'$ทำตัวให้เหมาะสมใกล้ศูนย์ ดูเหมือนค่อนข้างละเอียดอ่อน ฉันตรวจสอบแล้ว$F$ ไม่สามารถเป็นฟังก์ชันพหุนามหรือฟังก์ชันกำลังได้ (ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา $F'\simeq \frac{F}x$ดังนั้นเงื่อนไข 2 และ 3 จึงไม่สามารถถือพร้อมกันได้)

ฉันจะขอบคุณคำแนะนำใด ๆ !

Answer 1

ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าว ก่อนอื่น$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ เมื่อไหร่ $a,b\to 0$. ดังนั้น$F$ มีขีด จำกัด $c$ ที่จุด 0 ถ้า $c\ne 0$แล้ว 1) ล้มเหลว ดังนั้น$\lim_{x\to 0} F(x)=0$.

ต่อไป, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ ตอนนี้ $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ พิจารณาสองกรณี:

1. $F$ มีเครื่องหมายคงที่ใกล้ 0 แล้วเลือก $a,b$ ใกล้เคียงกับ 0 เราสรุปได้จาก (1) และ (2) นั่น $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ มาบรรจบกันที่ 0 แต่เทียบเท่ากับการลู่เข้าของ $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ ที่เราต้องการ

2. $F$ มีศูนย์จำนวนมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในย่านใด ๆ ของ 0 จากนั้นเลือก $(a_k,b_k)$ การรวม - ช่วงเวลาสูงสุดของชุดเปิด $\{x:F(x)\ne 0\}$ และใช้ (2) สำหรับ $a=a_k,b=b_k$ เราผูกพัน $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ ผ่าน $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$. ที่นี่$c=b_1$, ตัวอย่างเช่น.