ถ้า $A$ เป็นส่วนย่อยของเส้นจริง $\mathbb R$ และ $\mathbb Q \subseteq A$ ข้อใดต่อไปนี้ต้องเป็นจริง

Aug 20 2020

ถ้า $A$ เป็นส่วนย่อยของเส้นจริง $\mathbb R$ และ $A$ ประกอบด้วยตัวเลขที่เป็นเหตุเป็นผลข้อใดต่อไปนี้ต้องเป็นจริง

(ก) ถ้า $A$ เปิดให้บริการแล้ว $A = \mathbb R$.

(b) ถ้า $A$ ปิดแล้ว $A = \mathbb R$.

(c) ถ้า $A$ นับไม่ได้แล้ว $A = \mathbb R$.

(ง) ถ้า $A$ นับไม่ได้แล้ว $A$ เปิด.

(จ) ถ้า $A$ ก็นับได้แล้ว $A$ ถูกปิด.

แนวทางของฉัน:

(ก) เท็จ $A$ อาจจะพูดได้ $\mathbb R\setminus \{\sqrt{2}\}$ ซึ่งเปิดอยู่เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วเป็นการรวมกันของสองชุดเปิด $(-\infty, \sqrt 2) \cup (\sqrt 2, \infty)$.

(b) จริง $\bar {\mathbb Q}$ เป็นชุดปิดที่เล็กที่สุดที่มี $\mathbb Q$. และเรารู้$\bar {\mathbb Q} = \mathbb R$. ดังนั้นถ้า$A$ ปิดแล้ว $A = \bar A = \mathbb R$. มันไม่อาจใหญ่กว่า$\mathbb R$.

(c) เท็จ $\mathbb R \setminus \{\sqrt{2}\}$ ประกอบด้วย $\mathbb Q$ แต่นับไม่ได้

(ง) ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ฉันคิดว่ามันเป็นเท็จ มีใครช่วยยกตัวอย่างที่ชัดเจนของชุดที่นับไม่ได้$A$ ที่มี $\mathbb Q$ ที่เปิด?

(จ) เท็จ ตัวอย่างตอบโต้คือ$\mathbb Q$ตัวเอง เรารู้ว่า$\mathbb Q$ไม่ได้เปิดหรือปิดใน$\mathbb R$.

คำตอบ

4 BrianM.Scott Aug 20 2020 at 01:59

ฉันคิดว่าสำหรับ (d) คุณต้องการชุดที่นับไม่ได้จริงๆ $A$ ที่มี $\Bbb Q$ที่ไม่เปิด วิธีง่ายๆคือ$[0,1]\cup\Bbb Q$. (ใน (ก) คุณให้อยู่แล้วตัวอย่างหนึ่งที่เป็นที่เปิด.)

คำตอบอื่น ๆ ของคุณถูกต้อง