ถ้า $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ มีความต่อเนื่องและมาบรรจบกัน $f$ ชี้ต้อง $f$เป็น Riemann บูรณาการ? [ซ้ำ]

Question

ฉันกำลังพยายามแก้ไขคำถามต่อไปนี้

จริงหรือเท็จ? ถ้า$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ เป็นลำดับของฟังก์ชันต่อเนื่องที่มาบรรจบกัน $f$ ชี้แล้ว $f$ Riemann สามารถบูรณาการได้และ $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$

ด้วยความช่วยเหลือจากความคิดเห็นฉันพบตัวอย่างการตอบโต้นี้แต่ฉันหวังว่าจะมีวิธีที่ง่ายกว่านี้

ถ้าเราแทนที่ปริพันธ์ Riemann ด้วยปริพันธ์ Lebesgue ผลลัพธ์จะเป็นจริงโดย Dominated Convergence Theorem นี่หมายความว่าถ้า$f$ เป็น Riemann Integrable แน่นอน $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ ดังนั้นในการมองหาตัวอย่างตอบโต้เราควรหาที่ $f$ Riemann ไม่สามารถบูรณาการได้

ขอบคุณมากสำหรับความช่วยเหลือใด ๆ

Answer 1

ตัวอย่างแบบคลาสสิกมีดังต่อไปนี้: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$. ปล่อย$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (ซึ่งมีอยู่เนื่องจากเป็นขีด จำกัด ของลำดับการลดลงเชิงบวก) จากนั้นก็มีอยู่ $n_0$ ดังนั้น $f_{n_0}$ ไม่สามารถรวม Riemann ได้ซึ่งเป็นตัวอย่างที่ตอบโต้เนื่องจาก $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ Riemann สามารถใช้ได้กับทุกคน $m$ทั้ง $f_n$ Riemann ทั้งหมดสามารถรวมได้ แต่เนื่องจาก $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ ไม่สามารถใช้งานร่วมกับ Riemann ได้และ $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$นี่คือตัวอย่างการตอบโต้