ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชั่นจริงต่อเนื่องที่ $a$ และ $f(a) < M$จากนั้นมีช่วงเวลาเปิด $I$ ที่มีเช่นนั้น $f(x) < M$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in I$.

Question

ฉันมีปัญหาเกี่ยวกับหากฉเป็นฟังก์ชั่นจริงอย่างต่อเนื่องและ f (ก) คำตอบ ถ้าฉันใช้$\epsilon =M-f(a)$ ซึ่งก็เช่นกัน $\epsilon >0$ และ $ \exists$ $ \delta>0$ ดังนั้นจึงมีช่วงเวลาเปิด $I$ ที่มีเช่นนั้น $f(x)<M$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in I$. ฉันคิดว่านี่ก็ถูกต้องเช่นกัน แต่ไม่แน่ใจ

มีใครยืนยันคำตอบของฉันได้บ้าง

$\underline{Edit}$

ตอนนี้ให้ $\epsilon = {M-f(a)}$ชัดเจน $\epsilon >0$และด้วยเหตุนี้จึงมีช่วงเวลาเปิดอยู่ $I=(a-\delta, a+\delta)$เช่นนั้นสำหรับใด ๆ $x\in I$, $|f(x)-f(a)|<\epsilon= {M-f(a)}$ ถือ

ก็เป็นไปตามนั้น $f(x)<M$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in I$

Answer 1

มีเงื่อนไขว่า $f$ ต่อเนื่องที่ $a$บ่งชี้ว่า\ เริ่ม {สมการ} \ lim_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right) \ end {สมการ}กล่าวอีกนัยหนึ่งเรามีประพจน์ต่อไปนี้: \ begin { \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <\ epsilon \ end {} สมและเรามีโจทย์ที่\ begin {} สมฉ \ left (A \ ขวา) <เอ็ม \ end {} สมการการใช้ความจริงที่ว่า$M - f\left(a\right) > 0$เรามี\ begin {สมการ} \ อยู่ \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <M - f \ left (a \ right) \ end {สมการ}ซึ่งระบุเพิ่มเติมว่า\ start {สมการ} \ มีอยู่ \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow f \ left (x \ right) <M. \ label {main} \ end {สมการ}หากไม่มีช่วงเวลาเปิดดังกล่าว$I$ ที่ $f\left(x\right) < M$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in I$จากนั้นเรามีประพจน์ต่อไปนี้: \ begin {สมการ} \ forall \ delta> 0, \ มีอยู่ x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ wedge f \ left (x \ right) \ geq M, \ label {ย่อย} \ end {สมการ}ซึ่งขัดแย้งกับข้อสรุปของเราอย่างเห็นได้ชัด