ถ้าตัวแปรสุ่มสองตัว $X_1$ และ $X_2$ ขึ้นอยู่กับต้อง $X_1^2$ และ $X_2^2$ พึ่งพิง?
ถ้าตัวแปรสุ่มสองตัว $X_1$ และ $X_2$ ขึ้นอยู่กับแล้ว $X_1^2$ และ $X_2^2$ ขึ้นอยู่กับ
ฉันเชื่อว่าข้อความนี้เป็นเท็จ พิจารณาว่า$X_1$ และ $X_2$ ขึ้นอยู่กับนัย
$\sigma(X_1)$ ขึ้นอยู่กับ $\sigma(X_2)$ นั่นคือ sigma algebras ที่สร้างขึ้นโดยแต่ละ rv นั้นขึ้นอยู่กับ แต่เนื่องจาก $\sigma(X_1^2)\subset \sigma(X_1)$ และ $\sigma(X_2^2)\subset \sigma(X_2)$ การลดลงอาจนำไปสู่ sigma algebras ที่เป็นอิสระ
ตัวอย่างเคาน์เตอร์ที่ฉันคิดขึ้นมาคือ
ปล่อย:
$X_1\sim \text{Unif}(0,1)$ และ $$ X_2|X_1 = \begin{cases} 1 & X_1\in[0,\frac{1}{2})\\ -1 & X_1\in[\frac{1}{2},1]\\ \end{cases}$$
สังเกตว่าตัวแปรสุ่มทั้งสองนี้ขึ้นอยู่กันมาก แต่เมื่อฉันยกกำลังสองทั้งสอง $X_1\sim \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ และ $X_1|X_1=1$ดังนั้นตัวแปรสุ่มทั้งสองกำลังสองจึงเป็นอิสระ นี่คือตัวอย่างเสียง?
คำตอบ
ตัวอย่างการตอบโต้ของคุณใช้งานได้คิดตั้งแต่ของคุณ $X_2^2$ เป็นค่าคงที่ไม่เปิดเผยมากนักเนื่องจากเป็นอิสระจากทุกสิ่ง
อีกอย่างอาจจะต้องมี $A$ และ $B$ มาตรฐานอิสระปกติ (ค่าเฉลี่ย $0$, ความแปรปรวน $1$) และ
$X_1=A$ ในขณะที่ $X_2=\text{sign}(A)\, |B|$.
แล้ว $X_1$ และ $X_2$ มีความสัมพันธ์เชิงบวกกับการแจกแจงปกติในขณะที่ $X_1^2$ และ $X_2^2$ คือการแจกแจงแบบไคสแควร์อิสระ