ทำไมกลุ่มที่มีสี่องค์ประกอบของลำดับที่สองจึงไม่มีอยู่?
อาจารย์ของฉันบอกว่าถ้าคุณลบองค์ประกอบประจำตัวและการกลับตัวของตัวเองจำนวนองค์ประกอบของลำดับที่สองควรเป็นเลขคี่ ดังนั้นในกลุ่มจำนวนองค์ประกอบของลำดับที่สองไม่สามารถเป็นสี่ได้ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น?
คำตอบ
ข้อสังเกตเบื้องต้น (ได้รับแรงบันดาลใจจากความคิดเห็นของ bof ด้านล่าง) เป็นการยากที่จะแยกวิเคราะห์สิ่งที่คุณพูดที่ศาสตราจารย์พูดด้วยเหตุผลบางประการ ประการแรกเอกลักษณ์ของกลุ่มคือการผกผันของตัวเองดังนั้น "เอกลักษณ์และการผกผันตัวเอง" จึงซ้ำซ้อน ประการที่สององค์ประกอบของกลุ่มเป็นตัวผกผันในกรณีที่เป็นเอกลักษณ์หรือมีลำดับที่สองเท่านั้น ดังนั้นหากคุณ "ลบการผกผันตัวเอง" ก็จะไม่มีองค์ประกอบของลำดับที่สองเหลืออยู่
ไม่ว่าในกรณีใดนี่คือข้อเท็จจริง:
ข้อเท็จจริง 1.ถ้า$G$ เป็นกลุ่ม จำกัด ของคำสั่งแปลกจากนั้น $G$ มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ของลำดับ 2
ข้อเท็จจริง 2.ถ้า$G$ เป็นกลุ่มคำสั่งคู่ที่ จำกัด แล้ว $G$ มีองค์ประกอบจำนวนคี่ของลำดับ 2
ข้อเท็จจริง 3.ถ้า$G$ เป็นกลุ่มตามอำเภอใจที่มีจำนวนองค์ประกอบของลำดับที่ 2 แต่ไม่ใช่ศูนย์ $G$ มีองค์ประกอบจำนวนคี่ของลำดับ 2
ดังนั้นถ้าเรารวบรวมทั้งหมดเข้าด้วยกันเราจะได้คำอธิบายต่อไปนี้
ถ้า $G$ เป็นกลุ่มจากนั้นจึงเป็นการระงับข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้
- $G$ ไม่มีองค์ประกอบของคำสั่ง 2.
- $G$ มีองค์ประกอบของคำสั่งมากมายอย่างไม่สิ้นสุด 2.
- $G$ มีองค์ประกอบจำนวนคี่ของลำดับ 2
โปรดทราบว่า Fact 3 เป็นการสรุปข้อเท็จจริง 2 หากคุณถือว่าไฟล์$p=2$กรณีของCauchy ทฤษฎีบทซึ่งกล่าวว่ากลุ่มแน่นอนของการสั่งซื้อยังมีองค์ประกอบของการสั่งซื้อสินค้า 2 อย่างไรก็ตาม$p=2$ กรณีของทฤษฎีบทของ Cauchy ต่อจาก Fact 2 โดยตรงดังนั้นนี่จึงเป็นการพิสูจน์ให้เห็นถึงการพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่ 2 และ 3 แยกกัน
มาเริ่มการพิสูจน์กัน
การพิสูจน์ข้อเท็จจริง 1.สิ่งนี้มาจากทฤษฎีบทของลากรองจ์ซึ่งหมายความว่าลำดับขององค์ประกอบในกลุ่ม จำกัด จะแบ่งลำดับของกลุ่มเสมอ
Proof of Fact 2.พาร์ทิชัน$G$ เป็นสามชิ้น:
ชิ้นที่ 1: องค์ประกอบประจำตัว
ชิ้นที่ 2: องค์ประกอบของคำสั่งที่มากกว่า 2
ชิ้นที่ 3: องค์ประกอบของคำสั่ง 2
มีองค์ประกอบจำนวนเท่ากันในชิ้นที่ 2 เนื่องจากทุกองค์ประกอบในชิ้นที่ 2 สามารถจับคู่กับผกผันได้ซึ่งอยู่ในชิ้นที่ 2 และไม่เท่ากับองค์ประกอบดั้งเดิม (ในที่นี้เราใช้ความจริงที่ว่า$x=x^{-1}$ iff $x$ มีคำสั่งซื้อมากที่สุด 2. )
ดังนั้นจำนวนองค์ประกอบทั้งหมดในชิ้นที่ 1 และ 2 จึงเป็นเลขคี่ ตั้งแต่$G$ มีลำดับจำนวนองค์ประกอบในชิ้นที่ 3 เป็นเลขคี่เช่นกัน
Proof of Fact 3 (ดูคำถามนี้: จำนวนองค์ประกอบของลำดับ 2 ในกลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุดฉันจะทำซ้ำอาร์กิวเมนต์โดย Mikko Korhonen)
ปล่อย $G$ เป็นกลุ่มและปล่อยให้ $X$เป็นองค์ประกอบของคำสั่งมากที่สุด 2. สมมติ$G$ มีองค์ประกอบ $t$ ของคำสั่ง 2 (ดังนั้น $t\in X$). พาร์ทิชัน$X$เป็นสองชิ้น ชิ้นที่ 1 คือองค์ประกอบใน$X$ ที่เดินทางด้วย $t$และชิ้นที่ 2 คือส่วนที่เหลือ จากนั้นเราสามารถจับคู่แต่ละ$x$ ในชิ้นที่ 1 ด้วย $xt$และเราจับคู่กันได้ $x$ ในชิ้นที่ 2 ด้วย $txt^{-1}$. (ต้องตรวจสอบว่าเป็นการจับคู่ที่กำหนดไว้อย่างดีเช่น if$x$ อยู่ในชิ้นที่ 1 แล้ว $xt$ อยู่ในชิ้นที่ 1 และแตกต่างจาก $x$; และถ้า$x$ อยู่ในชิ้นที่ 2 แล้ว $txt^{-1}$ อยู่ในชิ้นที่ 2 และแตกต่างจาก $x$.) ดังนั้นทั้งสองชิ้นจึงมีองค์ประกอบจำนวนเท่ากันดังนั้น $X$มีองค์ประกอบจำนวนเท่ากัน การลบข้อมูลประจำตัวเราได้รับองค์ประกอบจำนวนคี่ของลำดับ 2