วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับปริพันธ์ จำกัด ของแบบฟอร์ม $\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$เหรอ?

Question

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันกำลังทำงานกับทรงกลมมิติที่สูงขึ้นและฉันพบคุณค่าของอินทิกรัลนี้: $$\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx.$$

แม้ว่าในทางกลับกันฉันทำงาน ฉันสร้างอินทิกรัลนี้จากความสัมพันธ์ที่ฉันได้สร้างขึ้นแล้ว ฉันสงสัยว่าเป็นไปได้ไหมที่จะหาค่าของอินทิกรัลนี้โดยใช้วิธีการอินทิกรัลใด ๆ เช่นถ้าคุณได้รับอินทิกรัลนี้คุณจะสามารถหาค่าของมันได้หรือไม่ ฉันลองใช้เครื่องคิดเลขอินทิกรัลออนไลน์ซึ่งไม่ได้ให้ผลลัพธ์ใด ๆ ฉันลองทำด้วยตัวเองแล้วก็ไม่พบอะไรเลยอย่างไรก็ตามการผสานรวมไม่ใช่พื้นที่ของฉันจริงๆ

Answer 1

ฉันสงสัยว่าจะหาค่าของอินทิกรัลนี้ได้หรือไม่

หากคุณกำลังมองหาคำตอบฉันมี (จาก Mathematica)

นิพจน์เงื่อนไขเพียงหมายความว่ามีเงื่อนไขพิเศษที่เกี่ยวข้องและได้รับการกล่าวถึง

Answer 2

วิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้การรวมโดยส่วนต่างๆซึ่งใช้สำหรับการหาค่าผลิตภัณฑ์วาลลิสสำหรับอินทิกรัลที่คล้ายกัน

ปล่อย $I(b) = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$, $v'=1$ และ $u=(a-x^2)^b$แล้ว $\frac{du}{dx}=-2bx(a-x^2)^{b-1}$. $I(0)=\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} dx=2\sqrt{a}$.

$$I(b) = [x(a-x^2)^b]_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} - \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} x(-2bx)(a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2b\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b + 2ab\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2bI(b) + 2abI(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}I(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}.\frac{2a(b-1)}{2b-1}...\frac{2a(2)}{2(2)+1}\frac{2a(1)}{2(1)+1} I(0)$$

Answer 3

การทดแทน $$x = \sqrt{a}(2u-1), \quad dx = 2 \sqrt{a} \, du,$$ ผลลัพธ์ในอินทิกรัล $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \int_{u=0}^1 u^b (1-u)^b \, du.$$นี่เป็นสัดส่วนกับอินทิกรัลเบต้าซึ่งมีค่าอยู่$$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{\Gamma(b+1)^2}{\Gamma(2b+2)}.$$ เมื่อไหร่ $b \in \mathbb Z^+$สิ่งนี้แสดงออกได้ในแฟกทอเรียลเป็น $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{(b!)^2}{(2b+1)!} = \frac{(2 \sqrt{a})^{2b+1}}{(b+1) \binom{2b+1}{b}}.$$

Answer 4

หากคุณสนุกกับฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกสมมติว่า $a>0$ และ $b>0$ $$\int (a-x^2)^b\, dx=a^b\,x\,\, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{x^2}{a}\right)$$ $$\int_{-t}^t (a-x^2)^b\, dx=2 a^b\,t \, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{t^2}{a}\right)$$ ถ้า $t=\sqrt a$สิ่งนี้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ให้ไว้แล้วในคำตอบ