วิธีการให้ Mathematica ยกเลิก infinities ในอินทิกรัลที่แน่นอน
ฉันมีอินทิกรัลนี้: $\int_z^1 dz_1\frac{z}{z_1(z_1 - z)} \Bigg(\ln z_1 \ln(1 - z_1) - \ln z \ln(1-z)\Bigg)$.
ถ้าฉันพยายามแก้มันใน Mathematica มันไม่ได้ผลลัพธ์ใด ๆ แม้ว่ามันจะสามารถแก้เวอร์ชันที่ไม่มีกำหนดได้ก็ตาม ถ้าฉันใช้ขีด จำกัด ของผลลัพธ์นั้นสำหรับ$z_1\rightarrow z$ และ $z_1\rightarrow 1$เพื่อให้ได้คำตอบสำหรับอินทิกรัลที่แน่นอนมี infinities บางคำที่แยกจากกัน แต่ในนิพจน์ทั้งหมดจะยกเลิก ดังนั้นคำเช่นนี้เช่น:$-\ln 0 \ln z + \ln 0 \ln z$ซึ่งเห็นได้ชัดว่า infinities ยกเลิก (เท่าที่ควรเนื่องจากอินทิกรัลนี้อธิบายถึงปริมาณทางกายภาพ) จนถึงตอนนี้ฉันได้จัดการกับปัญหานี้ด้วยตนเองและยกเลิกคำศัพท์ infinities ที่ชัดเจนเหล่านี้ตามระยะ
คำถามของฉันคือ: มีวิธีบอกให้ Mathematica จัดการกับเงื่อนไขเหล่านี้และยกเลิกเองในผลลัพธ์หรือไม่?
ฉันได้ลองใช้ขีด จำกัด แล้ว แต่มันก็ให้ "ไม่แน่นอน" ทุกครั้ง ฉันอยากจะขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือบางอย่าง
คำตอบ
ดูเหมือนว่าจะไม่มีปัญหากับ MA 11.3 ไม่มีความแตกต่างสำหรับค่าจริงของz
. ต้องรอประมาณ 40 วินาที
Integrate[z/(z1(z1-z)) (Log[z1]Log[1-z1]-Log[z]Log[1-z]),{z1,z,1},Assumptions->0<z<1]//Timing
Out[1]= {41.7505,-(1/6) Log[1-z] (Log[1-z]^2+3 Log[1-z] Log[z]+3 Log[z]^2
+6 PolyLog[2,z])+PolyLog[3,z/(-1+z)]}
ควรสังเกตว่าสำหรับ $0<z<1$ ปริพันธ์เป็นจริงต่อเนื่องและไม่มีความเป็นเอกฐานในช่วงเวลา $z\le z_1 \le 1$. ในความเป็นจริง$z_1=z,1$เป็นเอกพจน์ที่ถอดออกได้ ดังนั้นจึงPrincipalValue->True
ไม่จำเป็น