วิธีการศึกษาเพื่อเรียนรู้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เพื่อนำไปใช้กับสถิติ
โดยพื้นฐานแล้วฉันต้องการเรียนรู้เรขาคณิตสารสนเทศหรือโดยเฉพาะการประยุกต์ใช้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ในสถิติเพื่อทำโครงงาน ฉันมาจากพื้นฐานทางสถิติและมีความรู้เกี่ยวกับการวิเคราะห์จริงแคลคูลัสตัวแปรหลายตัวพีชคณิตเชิงเส้น อาจารย์คนหนึ่งของฉันบอกฉันว่าสามบทแรกจากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของ Do Carmo นั้นเพียงพอแล้ว ใครช่วยรับรองฉันได้ไหมว่าเพียงพอแล้วหรือฉันจำเป็นต้องเรียนรู้รูปทรงเรขาคณิตของ Riemannian และถ้าฉันต้องการเรียนรู้รูปทรงเรขาคณิตของ Riemannian แล้วเส้นทางการเรียนรู้ของฉันควรเป็นอย่างไร ฉันไม่ต้องการเรียนคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด ฉันแค่ต้องการนำไปใช้กับสถิติ
คำตอบ
Avishek ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะตอบด้วยบริบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่คุณให้มา
ฉันจะไปก่อนด้วยสิ่งที่ศาสตราจารย์ของคุณพูดและใช่ Do Carmo เป็นสถานที่ที่จะไป
คุณจะได้เรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับพื้นผิวใน $R^n$ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แบบคลาสสิก
หากในมืออื่น ๆ ที่โครงการของคุณอยู่ในระดับการวิจัย (พูดวิทยานิพนธ์ปริญญาโทหรือเกิน) จากนั้นดาวน์โหลดนี้บทความ ที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตข้อมูลที่เป็นนามธรรมซึ่งจะต้องอาศัยเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สมัยใหม่: แมนิโฟลด์แคลคูลัสเทนเซอร์เป็นต้นโดยทั่วไปความแตกต่างหลักระหว่างครั้งแรกและครั้งที่สองคือในทฤษฎีที่หลากหลายคุณไม่ได้เริ่มต้นจากท่อร่วมที่ฝังไว้ แต่อย่างใด คุณกำหนดเครื่องจักรทั้งหมดไว้ภายใน
หากคุณไม่รู้จักรูปทรงเรขาคณิตแบบคลาสสิกของพื้นผิวคุณยังต้องใช้เวลาสองสามวันใน Do Carmo จากนั้นเตรียมเหงื่อออกมากเพื่อเข้าสู่แนวทางสมัยใหม่
หวังว่ามันจะช่วยได้
ฉันคิดว่า Do Carmo เป็นตัวเลือกที่ดี โดยส่วนตัวแล้วฉันเป็นแฟนของบทนำสู่ Smooth Manifolds ของ John Lee และ Riemannian Manifolds ภาคต่อ แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเขียนในระดับที่สูงขึ้น แต่ก็เน้นภาพเรขาคณิตในที่ทำงาน
ฉันคิดว่าการสำรวจโดย Nielsen เป็นบทความที่ดีและฉันพบว่ามีประโยชน์มากในการดูภาพรวมของ IG อย่างไรก็ตามฉันไม่แนะนำให้ใช้เพื่อเรียนรู้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ หนังสือส่วนใหญ่เกี่ยวกับเรขาคณิตสารสนเทศใช้แนวทางที่แปลกประหลาดเกี่ยวกับเรขาคณิตซึ่งสามารถก่อให้เกิดความเข้าใจผิดต่างๆ สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่เรื่องใหญ่หากคุณคุ้นเคยกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แล้ว แต่จะเป็นปัญหามากกว่าหากคุณพยายามเรียนรู้มัน
งานทั้งสองชิ้นนี้ควรค่าแก่การอ่านหากคุณสนใจใน IG แต่ฉันจะยกตัวอย่างว่าฉันหมายถึงอะไร ทั้งหนังสือของ Amari และบทความสำรวจของ Nielsen ระบุว่าการเชื่อมต่อแบบแบนเป็นเรื่องเล็กน้อย (แม้ว่าจะไม่ใช้ภาษานี้ก็ตาม) ในรูปทรงเรขาคณิตข้อมูลการเชื่อมต่อแบบราบของความสนใจโดยทั่วไปอยู่ในตระกูลเลขชี้กำลัง (ซึ่งจะกลายเป็นจริง) อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปโฮโลโนมัยของการเชื่อมต่อแบบแบนไม่ได้เป็นศูนย์ (เกิดจากกลุ่มพื้นฐาน) นอกจากนี้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์นี้การเชื่อมต่อจะต้องมีทั้งความโค้งและไม่มีแรงบิด (ไม่ใช่แค่ความโค้งเท่านั้น) โดยทั่วไปแล้วท่อร่วมทางสถิติมักจะมีการเชื่อมต่อที่ปราศจากแรงบิดดังนั้นนี่จึงไม่ใช่ปัญหาในการใช้งาน สิ่งเหล่านี้เป็นจุดที่ค่อนข้างน้อยหากคุณคุ้นเคยกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แต่จะทำให้เข้าใจผิดสำหรับคนที่เรียนรู้มัน