อะไรคือ“ ความลับ” ที่อยู่เบื้องหลังการวัดปริมาณตามมาตรฐาน
วิธีการ (และอาจเป็นนักเรียนส่วนใหญ่ทั่วโลก) ฉันได้รับการสอน QM นั้นแปลกมาก ไม่มีคำอธิบายหรือความเข้าใจที่เข้าใจง่าย แต่เราได้รับสูตรอาหารเกี่ยวกับวิธีการหาปริมาณของทฤษฎีคลาสสิกซึ่งเป็นไปตามกฎของการเปลี่ยนปริมาณทั้งหมดเป็นตัวดำเนินการและวงเล็บปัวซองจะเปลี่ยนเป็นตัวสับเปลี่ยน
สำหรับฉันดูเหมือนความลับใหญ่ยังคงอยู่ที่นั่นมันยากสำหรับฉันที่จะเชื่อว่านี่เป็นวิธีที่โลกของเราทำงานโดยไม่มีคำอธิบายที่เข้าใจง่าย แต่การค้นหาเพียงไม่กี่ปีก็ไม่ได้ผลฉันไม่พบอะไรเลย มีใครรู้บ้างไหม? ฉันไม่ได้พูดถึง "การทำความเข้าใจ QM" ทั้งหมดที่ฉันต้องการคือเบาะแสเล็ก ๆ ซึ่งจะทำให้ฉันเข้าใจขั้นตอนการหาปริมาณที่ยอมรับได้อย่างลึกซึ้งขึ้นอีกขั้น
คำตอบ
อันที่จริง
การหาปริมาณที่เป็นที่ยอมรับจะใช้ได้ผลก็ต่อเมื่อทำงานได้
ในมุมมองของฉันผิดและเป็นอันตรายที่จะคิดว่านี่เป็นวิธีการสร้างทฤษฎีควอนตัมแม้ว่าบางครั้งมันจะได้ผล: มันให้ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจในฐานะคำอธิบายเชิงทฤษฎีของสเปกตรัมไฮโดรเจน
อย่างไรก็ตามหลังจากที่โลกทั้งหมดเป็นควอนตัมและฟิสิกส์คลาสสิกเป็นการประมาณ: ขั้นตอนการหาปริมาณไปในทิศทางที่ผิด! นอกจากนี้ในความเป็นจริงหลายผลไม่มีไปกับความถูกต้องไร้เดียงสาของวิธีการดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันสะสมเป็นทฤษฎีบท Groenewold -Van โฮฟของ
อย่างไรก็ตามคำถามยังคงอยู่: เหตุใดจึงมีความสัมพันธ์แปลก ๆ ระหว่างวงเล็บปัวซองกับคอมมิวเตเตอร์
ในความเป็นจริงความสัมพันธ์นี้กระตุ้นให้เกิดขั้นตอนการหาปริมาณที่ไร้เดียงสา
ในมุมมองของฉันคำตอบที่ลึกที่สุดอิงอยู่กับการดำรงอยู่ของบางกลุ่มสมมาตรกันกับ ทฤษฎีควอนตัมคลาสสิกและ
กลุ่มเหล่านี้ $G$ของการเปลี่ยนแปลงคือกลุ่ม Lieดังนั้นจึงมีลักษณะที่เรียกว่าLie algebras $\mathfrak{g}$ซึ่งเป็นช่องว่างเวกเตอร์ที่มีโครงสร้างคอมมิวเตเตอร์ $[a,b] \in \mathfrak{g}$ ถ้า $a,b\in \mathfrak{g}$. เราสามารถคิด$a\in \mathfrak{g}$ เป็นตัวสร้างของกลุ่มย่อยหนึ่งพารามิเตอร์ของ $G$ แสดงโดย $\mathbb{R} \ni t \mapsto \exp(ta) \in G$. ถ้า$a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak{g}$ ในรูปแบบเวกเตอร์ต้องถือ $$[a_i,a_j] = \sum_k C^k_{ij}a_k\tag{1}\:,$$ สำหรับค่าคงที่จริงบางค่า $C_k^{ij}$. ค่าคงที่เหล่านี้ (เกือบ) เป็นตัวกำหนดอย่างสมบูรณ์$G$. ตัวอย่างเช่นถ้า$G=SO(3)$ กลุ่มของการหมุน 3 มิติกลุ่มย่อยพารามิเตอร์เดียวคือการหมุนรอบแกนคงที่และสามารถเลือกได้เสมอ $C_k^{ij}= \epsilon_{ijk}$ (สัญลักษณ์ที่เรียกว่า Ricci)
ในฟิสิกส์คลาสสิกหนึ่งหมายถึงทฤษฎีที่สูตรแฮมิลตัน รัฐเป็นจุดของ$2n$ ท่อร่วมมิติที่ราบรื่น $F$เรียกว่าช่องว่างของเฟสโดยมีคลาสของพิกัดที่ต้องการกล่าวว่าบัญญัติซึ่งแสดงโดย$q^1,\ldots, q^n, p_1,\ldots, p_n$.
ถ้า $G$ เป็นกลุ่มสมมาตรของระบบจากนั้นจึงมีการแสดงที่ซื่อสัตย์ $G \ni g \mapsto \tau_g$ ของมันในแง่ของการเปลี่ยนแปลง (บัญญัติ) $\tau_g : F \to F$ ซึ่งเคลื่อนย้ายรัฐคลาสสิกตามการเปลี่ยนแปลง $g$. การเป็นตัวแทน$G \ni g \mapsto \tau_g$ ยอมรับคำอธิบายเล็ก ๆ น้อย ๆ ในแง่ของการเปลี่ยนแปลงที่เป็นที่ยอมรับน้อยที่สุดซึ่งคล้ายคลึงกับคำอธิบายที่น้อยที่สุดของ $G$ ในแง่ของพีชคณิตโกหก $\mathfrak{g}$. ในกรณีนี้พีชคณิตโกหกที่สอดคล้องกันคือปริภูมิเชิงเส้นของฟังก์ชันเรียบ$A \in C^\infty(F, \mathbb{R})$ เป็นตัวแทนของการสังเกตการณ์แบบคลาสสิกและวงเล็บ Poission $\{A,B\} \in C^\infty(F, \mathbb{R})$.
isomorphism (จริงกลาง) เกิดขึ้นระหว่างพีชคณิตโกหก $(\mathfrak{g}, [\:,\:])$ และพีชคณิตโกหกที่คล้ายกัน $(C^\infty(F, \mathbb{R}), \{\:\:\})$ทำจากปริมาณทางกายภาพที่สับเปลี่ยน$\{\:\:\})$เป็นเพียงที่มีชื่อเสียงวงเล็บ Poisson
ถ้า $a_k\in \mathfrak{g}$ สอดคล้องกับ $A_k\in C^\infty(F, \mathbb{R})$ และ (1) ใช้ได้สำหรับ $G$แล้ว $$\{A_i,A_j\} = \sum_k C^k_{ij}A_k + c_{ij}1 \tag{2}$$ ที่ค่าคงที่เพิ่มเติม $c_{ij}$เรียกว่าค่าส่วนกลางขึ้นอยู่กับการเป็นตัวแทน $$a \mapsto A\tag{2'}$$ กำหนด isomorphism (projective หรือ central) ของ Lie algebras
เมื่อผ่านไปยังคำอธิบายควอนตัม if $G$ยังคงเป็นกลุ่มสมมาตรที่มีโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายคลึงกัน ที่นี่พื้นที่ของรัฐ (บริสุทธิ์) คือพื้นที่ฮิลแบร์ตที่ซับซ้อน $H$ และสถานะ (บริสุทธิ์) เป็นเวกเตอร์ปกติ $\psi\in H$ ถึงขั้นตอน
ถ้า $G$ เป็นกลุ่มสมมาตรมีการแสดงแบบรวม (projective / central) $G \ni g \mapsto U_g$ ในแง่ของตัวดำเนินการแบบรวม $U_g : H\to H$. กลุ่มย่อยพารามิเตอร์เดียวของ$G$ ตอนนี้แสดงโดยกลุ่มที่รวมกันของรูปแบบเลขชี้กำลัง (ฉันจะละเว้นปัจจัยอย่างเป็นระบบ $1/\hbar$ หน้าเลขชี้กำลัง) $$\mathbb{R} \ni t \mapsto e^{-it \hat{A}}\:,$$ ที่ไหน $\hat{A}$ เป็นตัวดำเนินการ selfadjoint (กำหนดโดยเฉพาะ)
อีกครั้งถ้า (1) ถูกต้องและ $\hat{A}_k$ สอดคล้องกับ $a_k\in \mathfrak{g}$เรามีสิ่งนั้น $$[-i\hat{A}_i,-i\hat{A}_j]= -i\sum_k C^k_{ij}\hat{A}_k -i c'_{ij}I \tag{3}$$ ที่ไหน $[\:,\:]$เป็นตัวสับเปลี่ยนของตัวดำเนินการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง$$a \mapsto -i\hat{A} \tag{3'}$$ กำหนด isomorphism (projective) ของ Lie algebras
ฉันเน้นว่า isomorphisms (2 ') และ (3') มีอยู่อย่างอิสระและเป็นเพราะสมมติฐานที่ว่า $G$ เป็นกลุ่มสมมาตรของระบบและลักษณะของเครื่องจักรทฤษฎีการเป็นตัวแทน
การใช้ isomprphisms ทั้งสองนี้เราสามารถสร้าง isomorphism ที่สามได้ (สมมติว่า $c_{ij}=c'_{ij}$) ที่สอดแทรกระหว่างขอบเขตคลาสสิกและขอบเขตควอนตัม
ด้วยวิธีนี้ถ้า $A \in C^\infty(F, \mathbb{R})$ สอดคล้องกับ $\hat{A} : H \to H$ (อันที่จริงควร จำกัด เฉพาะโดเมนหนาแน่นที่เหมาะสม) จากนั้น $$\{A,B\} \quad \mbox{corresponds to} \quad i[\hat{A},\hat{B}]\tag{4}$$ เมื่อเปรียบเทียบ (2) และ (3) (ฉันไม่สนใจปัจจัยอีกครั้ง$\hbar$ เนื่องจากฉันได้สันนิษฐาน $\hbar=1$ ในนิพจน์เอกซ์โพเนนเชียลของกลุ่มรวมพารามิเตอร์เดียว)
ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนแล้วว่า (4) เป็นเหตุผลของหลักการที่สอดคล้องกันของการหาปริมาณที่เป็นที่ยอมรับเมื่อกลุ่มสมมาตรเดียวกันมีอยู่ทั้งในคลาสสิกและในฟิสิกส์ควอนตัม
ในฟิสิกส์สัมพันธ์บุหรี่, สัดส่วนกลุ่มที่เกี่ยวข้องเป็นกลุ่มของกาลิเลโอ สิ่งนี้มีบทบาทสำคัญทั้งในฟิสิกส์ควอนตัมแบบคลาสสิกและแบบไม่สัมพันธ์กัน
ดังนั้นเราจึงต้องมีตัวแทน (กลาง) ของพีชคณิตโกหกทั้งในแฮมิลตันคลาสสิกและในฟิสิกส์ควอนตัม
จากการอภิปรายข้างต้นเราสรุปได้ว่าไอ โซมอร์ฟิซึมที่เกี่ยวข้องกับการแทนค่าไอโซมอร์ฟิคคลาสสิกและควอนตัมของกลุ่มกาลิเลโอซึ่งเป็นแผนที่ที่เชื่อมโยงปริมาณคลาสสิกกับตัวดำเนินการที่สอดคล้องกันเพื่อรักษาความสัมพันธ์ในการเปลี่ยน - รวมถึงขั้นตอนการหาปริมาณมาตรฐานที่เรียกว่า
ให้เราอธิบายข้อเท็จจริงนี้โดยละเอียด พีชคณิตโกหก $\mathfrak{g}$ รวมถึงเครื่องกำเนิดไฟฟ้า $p$ ซึ่งในทฤษฎีแฮมิลตันคลาสสิกอธิบายโมเมนตัม (กำเนิดของกลุ่มย่อยของการแปล) และตัวกำเนิดอื่น $k$ (เครื่องกำเนิดของกลุ่มย่อยของการเพิ่มแบบคลาสสิก) ที่สอดคล้องกับตำแหน่งถึงค่าคงที่ที่สอดคล้องกับมวลของระบบ $m$.
ให้เรามุ่งเน้นไปที่สามระดับ
ทางเรขาคณิต $$[k,p]=0\:.$$ ในสูตรแฮมิลตันการเรียกเก็บเงินส่วนกลางจะปรากฏขึ้น $$\{k,p\}= m 1$$ ดังนั้นการกำหนด $x:= k/m$, เรามี $$\{x,p\}= 1\:.$$ ในฟิสิกส์ควอนตัมจากการอภิปรายข้างต้นเราควรค้นหาเครื่องกำเนิด / สิ่งที่สังเกตได้ที่เกี่ยวข้อง $$[-i\hat{K},-i\hat{P}]= -im \hat{I}$$ ดังนั้นการกำหนด $\hat{X}:= \frac{1}{m}\hat{K}$, $$[\hat{X},\hat{P}]= i \hat{I}$$
จดหมายนี้ซึ่งเก็บรักษาความสัมพันธ์เปลี่ยนที่สามารถขยายต่อไปจากไม่กี่ observables เริ่มต้นอธิบายพีชคณิตเพื่อพีชคณิตขนาดใหญ่ของ observables กล่าวว่าพีชคณิตห่อสากล มันถูกสร้างขึ้นจากพีชคณิตโกหกของกลุ่มกาลิเลโอ รวมถึงตัวอย่างเช่นพหุนามของสิ่งที่สังเกตได้
สรุป: มีกลุ่มสมมาตรพื้นฐานบางกลุ่มที่เหมือนกันกับฟิสิกส์คลาสสิกและควอนตัม กลุ่มเหล่านี้เป็นหน่วยการสร้างที่ใช้ในการสร้างทฤษฎีเนื่องจากมีความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับแนวคิดพื้นฐานในฐานะแนวคิดของกรอบอ้างอิงและหลักการพื้นฐานทางกายภาพเป็นหลักการสัมพัทธภาพ การดำรงอยู่ของกลุ่มเหล่านี้ทำให้เกิดการเชื่อมโยงระหว่างฟิสิกส์คลาสสิกและควอนตัม ลิงก์นี้จะส่งผ่านโครงสร้างคอมมิวเตเตอร์ของการแสดง (โพรเจกไทล์) ของกลุ่มดังกล่าวซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิก (โปรเจ็กทีฟ) กับพีชคณิตโกหกของกลุ่มสมมาตร ขั้นตอนการหาปริมาณสะท้อนให้เห็นถึงความสัมพันธ์พื้นฐานนี้ ถัดจากนั้นทั้งสองทฤษฎีวิวัฒนาการไปตามทิศทางที่ไม่ปะติดปะต่อกันและตัวอย่างเช่นในทฤษฎีควอนตัมกลุ่มสมมาตรเพิ่มเติมเกิดขึ้นโดยไม่มีความสัมพันธ์แบบคลาสสิก
แต่เราได้รับสูตรวิธีหาจำนวนทฤษฎีคลาสสิกซึ่งเป็นไปตามกฎของการเปลี่ยนปริมาณทั้งหมดเป็นตัวดำเนินการและวงเล็บปัวซองจะเปลี่ยนเป็นตัวสับเปลี่ยน สำหรับฉันดูเหมือนว่าความลับใหญ่ยังคงอยู่ที่นั่นมันยากสำหรับฉันที่จะเชื่อว่านี่เป็นวิธีที่โลกของเราทำงานโดยไม่มีคำอธิบายที่เข้าใจง่าย
คุณได้รับสูตรอาหารเหล่านี้เนื่องจากถูกค้นพบก่อนบนโลกของเราและอธิบายสถานการณ์ในแง่ดีและผู้คนสามารถคาดเดาปรากฏการณ์ทางกายภาพได้ง่ายที่สุดด้วยวิธีนี้ สิ่งที่คุณและฉันในโรงเรียนและคนส่วนใหญ่ในตอนแรกบ่นกันจริงๆมีสองสิ่งที่แตกต่างกัน :
แนวคิดใหม่ ๆ แปลก ๆ : การทำนายความน่าจะเป็นความไม่แน่นอนการรบกวนสเปกตรัมพลังงานที่ไม่ต่อเนื่อง ...
การกำหนดพื้นที่ของฮิลเบิร์ตพีชคณิตเชิงเส้นฟังก์ชันคลื่นสมการเชิงอนุพันธ์แปลก ๆ ที่อธิบายถึงพวกมันเทคนิคการแก้ปัญหาความขัดแย้งการเลิกเล่นพีชคณิตเชิงเส้น พร้อมกับ "เส้นทาง" คร่าวๆที่เริ่มจากกลศาสตร์คลาสสิกตามที่คุณร่างไว้
ไม่ต้องพูดถึงเรื่องแรกมากนัก: มันเป็นความจริงของธรรมชาติโลกมีพฤติกรรมเช่นนี้โดยสัญชาตญาณหรือไม่และน่าแปลกใจที่มันถูกค้นพบเมื่อศตวรรษที่แล้วโดยวีรบุรุษผู้มีปัญญารุ่นที่มีความสุขในสาขาของเรา อย่างไรก็ตามส่วนที่สองซึ่งพัฒนาร่วมกับส่วนแรกนั้นไม่สามารถต้านทานได้
บนดาวเคราะห์ดวงอื่นซึ่งอยู่ห่างไกลออกไปอาจมีความแตกต่างกันมากและถูกแทนที่ด้วยระเบียบแบบแผนและเส้นทางอื่น: การหาปริมาณเฟสอวกาศการละทิ้งพื้นที่ฮิลแบร์ตและตัวสับเปลี่ยนตัวดำเนินการ ฯลฯ ... มัน "ขยาย" กลศาสตร์คลาสสิก โดย "แก้ไข" วงเล็บปัวซองเป็นMoyal Bracketsซึ่งเพิ่มความพิเศษ$\hbar$- ขึ้นอยู่กับพวกเขาโดยเชื่อมโยงกัน (บนโลกที่น่าเศร้าของเราสิ่งนี้ถูกค้นพบในปี 1940 สองทศวรรษหลังจากการกำหนดอวกาศของฮิลเบิร์ตการกำหนดสูตรยังคงมีความต้องการทางเทคนิคดังนั้นการกำหนดพื้นที่ของฮิลเบิร์ตจึงยังคงเป็นกระแสหลัก แต่สำหรับ cri-de-coeur ' คุณเสียง ... )
ดังนั้นความยากลำบากทางวัฒนธรรมทุกรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการแบบใหม่สำหรับอุปกรณ์สังเกตการณ์และตัวสับเปลี่ยนจะไม่เกิดขึ้นเพื่อเพิ่มความตกใจทางวัฒนธรรม
ท้ายที่สุดแล้วเอนชิลาด้าขนาดใหญ่ก็คือ 1 แม้แต่เครื่องสังเกตของฟังก์ชันเฟส - สเปซแบบคลาสสิกก็ยังไม่มีการสับเปลี่ยนเนื่องจากมักประกอบด้วยการทำงานของผลิตภัณฑ์ดาวพิเศษและการไหลของความน่าจะเป็นและการรั่วไหลในลักษณะที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงกับโฟลว์เฟส - สเปซคลาสสิก และหลักการของความไม่แน่นอนยังเพิ่มความมหัศจรรย์และน่าประหลาดใจยิ่งกว่าในการกำหนดพื้นที่ของฮิลเบิร์ต แต่นั่นก็เป็นอีกเรื่องหนึ่ง แน่นอนสิ่งที่คุณหวังในการคำนวณและคาดการณ์คือค่าความคาดหวังของสิ่งที่สังเกตได้ นี่คือหัวใจหลักของ 1.
ดังนั้นคุณสามารถหาปริมาณอย่างไม่คลุมเครือด้วยวิธีนี้ได้หรือไม่? ไม่แน่นอน ควอนเป็นความลึกลับ (Weyl เจ้าพ่อของสูตรนี้คิดว่าเขาได้พบวิธีที่แท้จริงและเป็นวิธีเดียวในการหาปริมาณตามเส้นทางนี้ในปี 1927 ผิด) มีหลายวิธีในการวัดปริมาณระบบคลาสสิกอย่างสม่ำเสมอและไม่มีอะไรดีไปกว่า พักผ่อนแต่ขึ้นอยู่กับระบบทางกายภาพเฉพาะของคุณที่อธิบายไว้ บางคนเลือกเส้นทางเดียวและอีกเส้นทางหนึ่ง (แต่ทั้งหมดมีขีด จำกัด คลาสสิกเหมือนกัน)
สัญชาตญาณไม่ใช่สิ่งที่เราจะได้รับเป็นของขวัญ - จำเป็นต้องได้รับการพัฒนาผ่านประสบการณ์ ปรากฎว่ากลศาสตร์ควอนตัมแตกต่างจากฟิสิกส์คลาสสิกอย่างมากดังนั้นประสบการณ์ของคุณกับสิ่งหลังไม่ได้แปลเป็นสัญชาตญาณที่มีประโยชน์มากนักสำหรับอดีต
ในสูตรกลศาสตร์คลาสสิกของแฮมิลตันสถานะของระบบแสดงโดยจุดในพื้นที่เฟสและปริมาณที่สังเกตได้สามารถคิดได้ว่า $\mathbb R$- กำหนดค่าฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปรสเปซเฟส (เช่นตำแหน่งโมเมนตัม ฯลฯ ) การทดลองเช่นStern-Gerlachแสดงให้เห็นว่ามุมมองนี้ไม่เพียงพอ
ในการทดลอง SG พบว่าโมเมนตัมเชิงมุมของสปินที่สังเกตได้นั้นถูกวัดปริมาณโดยมีผลการวัดที่แม่นยำสองประการ สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ในภาพคลาสสิก - ฟังก์ชันต่อเนื่องไม่สามารถแมปพื้นที่เฟสทั้งหมดได้$^\dagger$เป็นตัวเลขสองตัวที่แตกต่างกัน นอกจากนี้การวัดค่าของสิ่งที่สังเกตได้อย่างหนึ่งอาจส่งผลต่อการวัดอีกแบบหนึ่งในลักษณะที่ไม่สามารถนำมาใช้โดยการสร้างแบบจำลองของสิ่งที่สังเกตได้ทางกายภาพเป็นฟังก์ชันง่ายๆ
จากนี้เราจำเป็นต้องแสวงหารูปแบบอื่น ผลการวัดแบบคลาสสิกอยู่ในรูปของช่วงเวลาที่เชื่อมต่อของ$\mathbb R$. การวัดควอนตัมสามารถให้ผลลัพธ์ดังกล่าวได้ แต่ยังสามารถส่งผลให้ได้ค่าที่ไม่ต่อเนื่อง (ตาม SG การวัดเส้นสเปกตรัมอะตอม ฯลฯ ) และช่วงเวลาที่ขาดการเชื่อมต่อ (ดูเช่นโครงสร้างวงดนตรีในของแข็ง ) ความเป็นไปได้เหล่านี้สามารถนำมาใช้โดยการสร้างแบบจำลองสิ่งที่สังเกตได้ด้วยตัวดำเนินการแบบปรับจุดได้เองในบางพื้นที่ของฮิลเบิร์ตโดยผลการวัดที่เป็นไปได้จะถูกกำหนดโดยสเปกตรัมของตัวดำเนินการที่เกี่ยวข้อง นี่คือ POV ที่นำมาใช้โดยสูตรมาตรฐานของกลศาสตร์ควอนตัม
เมื่อนำมุมมองนี้มาใช้ก็ยังไม่มีวิธีที่ชัดเจนในการตัดสินใจว่าตัวดำเนินการใดเป็นตัวแทนของสิ่งที่สังเกตได้ ขั้นตอนการหาปริมาณที่เป็นที่ยอมรับในท้ายที่สุดคือการคาดเดา (แรงจูงใจทางร่างกาย) การทดลองเช่นการทดลองแบบ double-slit แนะนำการมีอยู่ของฟังก์ชันคลื่นที่แตกต่างกันเชิงพื้นที่ซึ่งอาจก่อให้เกิดผลรบกวน การตีความเกิดของฟังก์ชันคลื่นนี้คือแอมพลิจูดความน่าจะเป็นเชิงพื้นที่$\psi$ ดังนั้น $\int_a^b |\psi(x)|^2 dx$ ให้ความน่าจะเป็นของการวัดอนุภาคที่อยู่ในช่วงเวลา $[a,b]$.
จากที่นี่เราสามารถกำหนดการกระทำของตำแหน่งที่สังเกตได้ค่อนข้างเป็นธรรมชาติ - การกระทำของมันกับฟังก์ชั่นคลื่นเป็นเพียงการคูณด้วย $x$. สิ่งนี้ทำให้ได้สเปกตรัมที่ถูกต้องของการวัดตำแหน่งที่เป็นไปได้และ "ค่าที่คาดหวัง" เป็นเพียงค่าเฉลี่ยของการแจกแจงความน่าจะเป็นเชิงพื้นที่
คำจำกัดความของตัวดำเนินการโมเมนตัมนั้นค่อนข้างซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่สามารถกระตุ้นได้โดยการตรวจสอบโครงสร้างพีชคณิตของสิ่งที่สังเกตได้ซึ่งมีอยู่ในกลศาสตร์แฮมิลตันคลาสสิก โมเมนตัมที่สังเกตได้เป็นตัวกำเนิดที่น้อยที่สุดของการแปลเชิงพื้นที่ - การกำหนดโครงสร้างเดียวกันบนทฤษฎีควอนตัมให้คำจำกัดความของตัวดำเนินการโมเมนตัมในแง่ของตัวดำเนินการที่แตกต่างกันบน$\psi(x)$.
อย่างไรก็ตามตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้การคำนวณเชิงปริมาณ (เช่นเดียวกับขั้นตอนการหาปริมาณอื่น ๆ ) เป็นการคาดเดาในที่สุด การวัดระบบให้เบาะแสเกี่ยวกับลักษณะของสิ่งที่สังเกตได้ทางกายภาพที่น่าสนใจซึ่งจะให้เบาะแสกับพื้นที่ฮิลเบิร์ตที่พวกเขาสร้างขึ้น จากนั้นเราจะสร้างแบบจำลองที่เกี่ยวข้องทำการคาดการณ์เปรียบเทียบกับการทดลองเพิ่มเติมและประเมินว่าแบบจำลองของเราเพียงพอที่จะทำนายได้อย่างถูกต้องหรือไม่ว่าระบบจะทำงานอย่างไร
$^\dagger$สิ่งนี้จะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อตัดการเชื่อมต่อพื้นที่เฟสซึ่งประกอบด้วยสองชิ้นที่แตกต่างกันซึ่งสอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันของโมเมนตัมเชิงมุมของการหมุน อย่างไรก็ตามความไม่แปรเปลี่ยนของการหมุนจะออกกฎนี้และการไม่เปลี่ยนการวัดการหมุนตามแกนที่แตกต่างกันทำให้เกิดการตอกตะปูเพิ่มเติมในโลงศพของแนวคิดนี้
เป็นเรื่องแปลกมากที่กลศาสตร์ควอนตัมซึ่งควรจะเป็นพื้นฐานมากกว่านั้นถูกสร้างขึ้นโดยใช้ทฤษฎีคลาสสิก ตรรกะค่อนข้างถอยหลัง แต่มีเหตุผลที่ดีว่าทำไมจึงทำเช่นนี้ การหาปริมาณที่เป็นที่ยอมรับทำให้มั่นใจได้ว่าทฤษฎีควอนตัมเข้าใกล้ขีด จำกัด คลาสสิกที่เหมาะสม
มีความพยายามบางอย่างที่จะอธิบายกลศาสตร์ควอนตัมด้วยวิธีควอนตัมล้วนๆ แต่ก็มักจะระบุเพียงสเปกตรัมของสถานะตามทฤษฎี ไม่สว่างมากถ้าคุณถามฉัน
ตัวอย่างเช่นมีความพยายามในการสร้างทฤษฎีสนามควอนตัมโดยใช้เพียง S-matrix ซึ่งอธิบายถึงความน่าจะเป็นของอนุภาคที่กระจัดกระจายในพลังงานและมุมต่างๆ แต่การกำหนดทฤษฎีเป็นการระบุว่าความน่าจะเป็นเหล่านั้นคืออะไร ไม่มีสมการใดที่จะสามารถแก้ปัญหาได้ซึ่งจะให้ความน่าจะเป็นเหล่านั้นแก่คุณ (เว้นแต่ว่าเราจะใช้การคำนวณเชิงปริมาณ) นอกจากนี้ยังมีปัญหาโดยธรรมชาติกับสูตร S-matrix เนื่องจากไม่สามารถอธิบายอนุภาคที่ไม่มีมวลได้อย่างเหมาะสม
การกำหนดสเปกตรัมของสถานะในทฤษฎีควอนตัมจากชุดสมการที่ จำกัด จะมีประโยชน์แทนที่จะระบุจำนวนสถานะที่ไม่มีที่สิ้นสุด นี่คือเหตุผลที่การหาปริมาณที่ยอมรับได้จึงถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวาง
ปัญหาก็คือว่าปัญหาพื้นฐานในการทำความเข้าใจกลศาสตร์ควอนตัมคือจากมุมมองเชิงตรรกะที่เคร่งครัดถูกวางไว้ข้างหลัง เราเริ่มต้นด้วยความเข้าใจฟิสิกส์คลาสสิกและต้องการค้นพบฟิสิกส์ควอนตัม แต่คุณไม่สามารถหาทฤษฎีพื้นฐานจากทฤษฎีพื้นฐานที่น้อยกว่าได้ ในทางกลับกันมันเป็นไปได้ที่จะได้รับฟิสิกส์คลาสสิกจากกลศาสตร์ควอนตัมหากมีเพียงหนึ่งเดียวที่กำหนดอย่างถูกต้อง แต่ก่อนอื่นเราต้องมีสูตรกลศาสตร์ควอนตัมที่ถูกต้อง
ในอดีตการวัดปริมาณที่เป็นที่ยอมรับมีความสำคัญเนื่องจากช่วยให้ Dirac (ผู้แนะนำ) สร้างสูตรทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องของกลศาสตร์ควอนตัม เหตุผลนั้นไม่สำคัญนักเนื่องจากอาร์กิวเมนต์เชิงตรรกะทำงานในทิศทางตรงกันข้าม
แรคและ von Neumann ไม่ให้เรามีวิธีที่จะเข้าถึงปัญหาอื่นตามหลักการ Dirac-von Neumann จากมุมมองทางคณิตศาสตร์สัจพจน์เหล่านี้น่าพอใจมากขึ้นและช่วยให้เราได้รับความสัมพันธ์เชิงปริมาณที่เป็นที่ยอมรับ (จากคุณสมบัติของฮิลเบิร์ตสเปซ) แทนที่จะกำหนดให้ สิ่งนี้เปลี่ยนคำถามซึ่งกลายเป็น "ทำไมเราจึงควรใช้พื้นที่ของฮิลเบิร์ต" ฟอนนอยมันน์ตอบคำถามได้จริงแต่สิ่งหนึ่งที่ฟอนนอยมันน์ไม่ถนัดคือการอธิบายคณิตศาสตร์ให้มนุษย์เข้าใจ หนังสือเล่มนี้แทบไม่สามารถอ่านได้และการพยายามอธิบาย "ตรรกะควอนตัม" ต่อไปก็ไม่ดีขึ้นมากนัก
ฉันเขียนบทความที่ตีพิมพ์ของฉันพื้นที่ของประโยคเงื่อนไขของฮิลเบิร์ตอย่างแม่นยำเพื่อชี้แจงว่าโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัมหมายถึงอะไรและฉันหวังว่ามันจะช่วยให้คุณเข้าใจง่ายขึ้น ฉันได้ขยายเรื่องนี้และกรอกรายละเอียดที่จำเป็นในหนังสือของฉัน (ดูโปรไฟล์)
การหาค่าสนามแบบคลาสสิกเป็นวิธีการสอนที่ง่ายที่สุดในการแนะนำกลศาสตร์ควอนตัม อย่างไรก็ตามมันให้ความรู้สึกเหมือนเป็นเล่ห์กล ... ในทางกลับกันมันเป็นไปได้ที่จะได้รับ QM โดยไม่ต้องแนะนำสนามคลาสสิกใด ๆ กุญแจสำคัญในการทำเช่นนี้คือการใช้การกำหนดเส้นทางแบบรวมของ QM
ในกลศาสตร์คลาสสิกเราสามารถได้มาจากสมการออยเลอร์ - ลากรองจ์หรือสมการการเคลื่อนที่ของลากรองจ์จากหลักการแปรผันกล่าวคือโดยการย่อส่วนการกระทำแบบคลาสสิกให้น้อยที่สุด ในทางตรงกันข้ามในเส้นทางการกำหนดสูตรหนึ่งจะลดการกระทำทางควอนตัมเพื่อให้ได้สมการสนามควอนตัม สิ่งนี้ทำได้โดยไม่จำเป็นต้องกำหนดฟิลด์คลาสสิกระดับกลาง
ประเด็นสำคัญคือการกำหนดเส้นทางแบบอินทิกรัลเทียบเท่ากับวิธีการหาปริมาณที่เป็นที่ยอมรับ อย่างไรก็ตามในอดีตรู้สึกเหมือนเป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติมากกว่าในการแนะนำ QM อย่างน้อยก็เป็นไปตามแนวคิด
อย่างไรก็ตามมีช้างตัวเล็ก ๆ อยู่ในห้องในแนวทางนี้: เส้นทางอินทิกรัลเองไม่ได้กำหนดไว้อย่างดีทางคณิตศาสตร์กล่าวคือไม่มีวิธีที่ยอมรับอย่างกว้างขวางและกำหนดไว้อย่างดีในการกำหนดเส้นทางอินทิกรัลจากมุมมองทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวด แต่นักฟิสิกส์ไม่สนใจ: D
TL, DR
ฉันขอแนะนำให้คุณดูเส้นทางการกำหนดแบบรวมของ QM
https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation