องค์ประกอบของฟังก์ชันบนแผนภาพสับเปลี่ยน: คำถามพื้นฐาน
ฉันพยายามทำงานผ่านหมวดหมู่สำหรับนักคณิตศาสตร์ที่ทำงานและพบกับความสับสนในทันที
องค์ประกอบของฟังก์ชันคือการสับเปลี่ยน iff $f\circ g = g\circ f$. แต่ถ้าในแผนภาพนี้$f:\mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$, $g:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$และ $h:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}$แผนภาพสามารถเดินทางได้โดยไม่มีองค์ประกอบ $f\circ g$การเดินทาง ความคิดของการเดินทางของแผนภาพไม่เกี่ยวข้องอย่างสิ้นเชิงกับการที่ฉันคิดว่าองค์ประกอบของฟังก์ชัน (หรือสัณฐานวิทยา) มีการเปลี่ยนแปลงหรือไม่?
คำตอบ
commutativity ของแผนภาพเป็น commutativity แตกต่างกันขององค์ประกอบ การระบุว่าสามเหลี่ยมในรูปภาพของคุณเคลื่อนที่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการพูด$h=g\circ f$.
เพื่อให้มีความละเอียดมากขึ้นมีการกล่าวถึงแผนภาพว่าหากองค์ประกอบตามเส้นทางใด ๆ จากจุดเริ่มต้นเดียวกันไปยังจุดสิ้นสุดเดียวกันจะต้องเท่ากัน ในสามเหลี่ยมของคุณมีสองเส้นทางที่ต้องไป$X$ ถึง $Z$: คุณติดตามโดยตรง $X\xrightarrow hZ$หรือคุณทำตามคอมโพสิต $X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ$. Commutativity ยืนยันว่าสิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งเดียวกันและด้วยเหตุนี้$h=f\circ g$.
ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นเหตุผลในการเรียกการสับเปลี่ยนของไดอะแกรมหรือไม่ แต่มีสองรูปแบบ$p,q:A\to A$ เดินทางซึ่งกันและกันถ้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส $\require{AMScd}$ \ start {CD} A @> p >> A \\ @VqVV @VVqV \\ A @ >> p> A \ end {CD} สื่อสารเป็นแผนภาพ (อันที่จริงนี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการบอกว่า$p\circ q=q\circ p$).
แผนภาพการสับเปลี่ยนมีประโยชน์ในทางปฏิบัติเนื่องจากสามารถแสดงความเท่าเทียมกันของสัณฐานได้หลายอย่างพร้อมกัน ตัวอย่างเช่นแผนภาพที่ใหญ่กว่าเล็กน้อย\ begin {CD} A @> t >> B @> u >> C \\ @VvVV @VVwV @VVxV \\ D @ >> y> E @ >> z> F \ end {CD}การสับเปลี่ยนเป็นการแสดงออกของสมการทั้งหมด
- $x\circ u\circ t=z\circ w\circ t=z\circ y\circ v$
- $x\circ u=z\circ w$
- $w\circ t=y\circ v$
โปรดทราบว่ามีความซ้ำซ้อนอยู่บ้างเนื่องจากสมการลูกโซ่แรกสามารถอนุมานได้จากสองสมการหลัง แต่สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นถึงความสะดวกในการแสดงการสับเปลี่ยนของไดอะแกรมทั้งหมดที่นี่โดยสังเกตว่าองค์ประกอบกำลังสองระหว่างการเดินทาง เทคนิคเช่นนี้มีประโยชน์เมื่อไดอะแกรมมีส่วนร่วมมากขึ้น