$a\in \mathbb{N}$, $p$ premier, $a<p$ prouve-le $a\mid p+1\iff\exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ [dupliquer]

Question

$a\in \mathbb{N}$, $p$ premier, $a<p$ prouve-le $a\mid p+1\iff \exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

ma tentative:

$a\cdot b \cdot c=p\cdot(b+c)$ .

je ne sais pas comment utiliser le donné
$a\mid p+1$

Answer 1

On a $ a \mid p+1$ il y a donc $\lambda$ tel que $\lambda a =p+1$. Maintenant divisez par$ \lambda p$& nous avons \ begin {eqnarray *} \ frac {a} {p} = \ frac {1} {\ lambda} + \ frac {1} {p \ lambda}. \ end {eqnarray *}

L'autre implication: nous avons $ \dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ ou $abc=p(b+c)$.Multipliez ceci par $a$ & réorganiser en $(ab-p)(ac-p)=p^2$.

Cela donne trois possibilités $ab-p=1$ ou $ac-p=1$& le résultat suit. Ou$ab-p=p,ac-p=p$ qui donne $ab=ac=2p$ donc $a=1$ ou $a=2$ et encore une fois le résultat suit.