À propos du théorème de Darboux
Ce que j'ai appris dit que le théorème de Darboux peut être utilisé pour prouver qu'une fonction qui n'est pas continue peut également être vraie avec le théorème des valeurs intermédiaires. Est-ce correct? Mais pourquoi ne parlons-nous pas de ce sujet lorsque nous prouvons ce théorème ? N'est-ce pas si important ? Veuillez répondre..... ps Je suis désolé de ne pas être bon en anglais... et je suis lycéen en Corée. Pouvez-vous expliquer plus facilement que d'autres?
Réponses
Considérez toute fonction différentiable$f(x)$.
Ainsi, dans le cas particulier où$f(x)$est continûment dérivable, alors bien sûr la dérivée$f'(x)$est. continu, et donc, par le théorème des valeurs intermédiaires (IVT), atteindra toutes les valeurs entre ses limites. Pour rappel, dans ce cas particulier où notre fonction est continûment différentiable , oui le théorème de Darboux est simplement l'IVT usuel.
Or, dans le cas plus général où la continuité de$f'(x)$n'est pas garanti, nous ne pouvons pas appliquer notre IVT habituelle. Mais parce que$f(x)$est différentiable, nous pouvons toujours appliquer le théorème de Darboux, qui nous donne ce que IVT aurait donné s'il était applicable. La différence est bien sûr que la preuve d'IVT n'aurait pas fonctionné car son hypothèse n'était pas satisfaite, mais la preuve de Darboux fonctionne car elle a des exigences différentes de celles d'IVT.
Enfin, pour résumer, si vous avez une fonction, et que vous savez que c'est une dérivée d'une fonction, vous pouvez avoir le résultat d'IVT même si cette fonction n'est elle-même pas continue, grâce à Darboux. Bien sûr, dans le cas où la fonction est continue, vous pouvez utiliser directement IVT sans vous soucier de savoir si cette fonction est dérivée d'une fonction ou non.
PS Mes excuses pour les redondances, mais je voulais m'assurer que je franchissais le fossé linguistique.